2018_2019学年高中数学第1章导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测含解析苏教版

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1、第1章导数及其应用[对应学生用书P31]一、导数的概念1．导数函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜

2、率，这是导数的几何意义．2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0

3、)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数(1)f(x)＝C，则f′(x)＝0(C为常数)；(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1(α为常数)；(3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axlna；(4)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝；(5)f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；(6)f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx.2．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x

4、)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．五、导数与函数的极值利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧的f′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则f

5、(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点．六、求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．七、

6、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．八．定积分(1)定积分是一个数值．定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)．定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积．要注意区分f(x)dx，

7、f(x)

8、dx及三者的不同．(

9、2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．　一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a，又∵f′(1)＝2，∴a＝1.答案：12．曲线y＝x3－4x在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．解析

10、：∵y′＝3x2－4，∴当x＝1时，y′＝－1，即tanα＝－1.又∵α∈(0，π)，∴α＝π.答案：π3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤，所以实数a的取值范围是[－，]．答案：[－，]4．y＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a＝________.解析