2018_2019学年高中数学第1部分第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1四种命题讲义含解析

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1、1．1.1　四种命题命题的概念观察下列语句的特点：(1)这幅画真漂亮！(2)求证是无理数；(3)菱形是平行四边形吗？(4)等腰三角形的两底角相等；(5)x>2012；(6)若x2＝20122，则x＝2012.问题：在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假．提示：(1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假．1．能够判断真假的语句叫做命题．2．命题四种命题及其关系观察下列四个命题：(1)若两个三角形全等，则这两个三角形相似；(2)若两个三角形相似，则这两个三角形全等；(3)若两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；(4)若两个三角

2、形不相似，则这两个三角形不全等．问题：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．四种命题的概念(1)如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫

3、做互否命题．(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．2．命题的四种形式原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p.3．四种命题之间的关系四种命题真假之间的关系观察下列命题，回答后面的问题：(1)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；(2)如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；(3)如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；(4)如果两个三角形面积不相等，那么它们不全等．问题1：若把命题(1)看作原命题，这四个命题之间有什么关系？提示：(1

4、)与(2)、(3)与(4)为互逆关系；(1)与(3)、(2)与(4)为互否关系；(1)与(4)、(2)与(3)为互为逆否关系．问题2：判断四个命题的真假．提示：命题(1)(4)是真命题；命题(2)(3)是假命题．1．四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．1．原命题是相对其他三种命题而言的．事实上，可以把任意一个命题看成原命题，来研究它的其他形式的命题．2．当一个命题有大前提而要写出其他

5、三种命题时，大前提仍作大前提．3．若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性，即它们同真同假．所以，当一个命题的真假不易判断时，可以通过对其逆否命题的真假的判断来判断原命题的真假．命题的概念及其判断[例1]　判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x＝4时，2x＋1>0；(6)把门关上．[思路点拨]　首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题．[精解详析]　(1)能判断真假，是命

6、题，是假命题．(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．(3)不能判断真假，不是命题．(4)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．(5)能判断真假，是命题，是真命题．(6)因为没有作出判断，所以不是命题．[一点通]　1．判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假．2．判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可．1．下列语句：(1)2＋2是

7、有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？其中是命题的是________．解析：(1)能判断真假，是命题，是假命题；(2)能判断真假，是命题，是假命题；(3)不能判断真假，不是命题；(4)是命题，是真命题；(5)不能判断真假，不是命题．答案：(1)、(2)、(4)2．判断下列命题的真假：(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)不等式

8、3x－2

9、>4的解集是(－∞，－)∪(2，＋∞)；(4)平行于同一平面的两条直线平行．解：(1)y＝sin

10、4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，故(1)为真命题