2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.2.1直线的一般方程学案湘教版必修

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1、7．2.1　直线的一般方程[学习目标]1．了解直线的方程与方程的直线的概念和关系．2．了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示．3．理解直线的一般式方程的特点，掌握求直线一般方程的方法．[预习导引]1．方程的图象一般地，对任意一个二元方程f(x，y)＝0，以这个方程的某一组解(x，y)为坐标，有唯一一个点与之对应，所有这些点组成的集合称为这个方程的图象．2．定理1任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)的图象是与n＝(A，B)垂直的一条直线．3．直线的一般式方程(1)方程：Ax＋By＋C＝0；(

2、2)法向量：如果非零向量n与直线l垂直，就称n是l的法向量．4．与v＝(a，b)垂直的向量n＝(b，－a)或n＝(－b，a)．5．直线方程的两点式方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0．要点一　直线方程的概念例1　已知方程2x＋3y＋6＝0.(1)画出这个方程所对应的直线l；(2)点(，1)是否在直线l上；(3)求直线的法向量；(4)方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线l的方程？直线l是不是该方程的直线？11解　(1)在方程中令x＝0或y＝0，得A(0，－2)，B(－3，0)，直线AB即为所求的直线l，图象如图

3、所示．(2)∵当x＝，y＝1时，方程的左边＝2×＋3×1＋6＝12，右边＝0，∴左边≠右边．∴点(，1)不在直线l上．(3)∵A＝2，B＝3，∴直线的法向量为n＝(2，3)．(4)虽然以方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的解为坐标的点都在l上，但是l上点的坐标不都是该方程的解，比如点C(－，－1)∈l，但，不是该方程的解，所以方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线l的方程，直线l也不是方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的直线．规律方法　根据直线方程的概念解答或举反例说明．跟踪演练1　如图所示，方程y－ax－＝0的直线可能是(　　)答案　B要点

4、二　利用直线的法向量求直线方程例2　已知三角形的三个顶点A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，2)．(1)求高AD所在的直线方程；(2)求BC的垂直平分线l所在的直线方程；11(3)求∠B的平分线BE所在直线方程．解　(1)∵BC⊥AD，因此是直线AD的法向量．∵＝(－2，1)，故直线AD的方程具有形式：－2x＋y＋C＝0.将A(－1，－1)代入，得C＝－1，因此直线AD的方程为2x－y＋1＝0.(2)BC的垂直平分线l过BC的中点M，M的坐标为(，)＝(2，)．∵l⊥BC，∴＝(－2，1)是l的法向量．故l具有的形式为－2x＋y＋C＝0

5、.将M(2，)代入，得C＝.故BC的垂直平分线l的方程为－2x＋y＋＝0，即4x－2y－5＝0.(3)＝(－1－3，－1－1)＝(－4，－2)，＝(1－3，2－1)＝(－2，1)，

6、

7、＝＝2，

8、

9、＝＝.∴

10、

11、＝

12、

13、.于是可在，方向上取长度相等的向量和.则＋＝的方向就是角平分线的方向，∴＝＋＝(－4，－2)＋(－2，1)＝(－4，0)．由(－4，0)·(0，1)＝0知n＝(0，1)垂直，即为BE的法向量．故直线BE的方程具有的形式为0×x＋y＋C＝0，将点B(3，1)代入，得C＝－1，∴∠B的平分线BE所在直线方程为y－1＝0.11规律方法　

14、通过该题可以总结出解决以下几个问题的算法：(1)已知直线AD的法向量n和直线上一点A的坐标，求直线AD的方程；(2)已知与直线BE平行的向量v及B点坐标，求BE的方程；以上两个问题在求直线方程时都充分利用了直线的法向量．跟踪演练2　已知△ABC的三个顶点A(3，－4)，B(6，0)，C(－5，2)，求：(1)边AC的垂直平分线的方程；(2)高CD所在的直线方程．解　(1)∵AC的垂直平分线l过AC的中点M，M的坐标为(，)＝(－1，－1)．∵l⊥AC，是直线l的法向量，＝(－8，6)，∴直线l方程具有的形式为－8x＋6y＋C＝0.将M(－1

15、，－1)代入，得－8×(－1)＋6×(－1)＋C＝0，∴C＝－2.故AC的垂直平分线方程为：4x－3y＋1＝0.(2)∵高CD⊥AB，∴是CD的法向量．又∵＝(3，4)，∴CD所在直线的方程形式为3x＋4y＋C＝0，将C(－5，2)代入，得3×(－5)＋4×2＋C＝0，∴C＝7，∴CD所在直线方程为3x＋4y＋7＝0.要点三　已知两点求直线方程例3　已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．解　∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.

16、∵A(2，－1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为(2－4)(y－1)－(－1－1)(x－4)＝0，即x－y－3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程式为