2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.3.2圆的一般方程学案湘教版必修

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1、7．3.2　圆的一般方程[学习目标]1．正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．2．会在不同条件下求圆的一般式方程．[知识链接]1．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圆心坐标为(a，b)，半径为r．2．点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断．[预习导引]1．圆的一般方程的定义(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为，半径为．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点．(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F

2、＝0不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0要点一　圆的一般方程的概念例1　下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；10(4)2x2＋2y2－5x＝0.解　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2

3、的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，∴它表示以为圆心，为半径长的圆．规律方法　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.也可将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．跟踪演练1　如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是______

4、__．答案　解析　由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<.要点二　求圆的一般方程例2　已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径．解　法一　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴∴∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.10法二　设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A，B，C在圆上，∴解得即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(

5、x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.法三　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形．∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝

6、BC

7、＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.规律方法　应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一

8、般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪演练2　已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．解　设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得解得即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.要点三　求动点的轨迹方程例3　等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解　设另一端点C的坐标为(x，y)．10依题意，得

9、AC

10、＝

11、AB

12、.由两点间距离公式，得＝，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如上图所示

13、，因为点B，C不能重合，所以点C不能为(3，5)．又因为点B，C不能为一直径的两个端点，所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1)．故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．规律方法　求与圆有关的轨迹问题常用的方法．①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利