2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.3.1圆的标准方程学案湘教版必修

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1、7．3.1　圆的标准方程[学习目标]1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．能准确判断点与圆的位置关系．[知识链接]1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．3．平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式

2、AB

3、＝．[预习导引]1．圆的定义圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合，这个固定的点就是圆心．这个固定的长度就是半径．2．定理4：圆心为点(a，b)、半径为r的圆的方程为(x－a

4、)2＋(y－b)2＝r2，称之为圆的标准方程．3．圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2．4．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系.位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的关系d>rd＝rd

5、＋∞)．规律方法　判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点在圆外．跟踪演练1　点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定答案　A解析　把点P(m2

6、，5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外．要点二　求圆的标准方程例2　求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．解　法一　设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a，2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴

7、CA

8、＝

9、CB

10、.∴＝，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝

11、CA

12、＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二　由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝

13、1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得即圆心为(1，1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.规律方法　直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．9跟踪演练2　以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(

14、y－2)2＝25答案　D解析　∵线段AB的中点坐标为(1，2)，∴以AB为直径的圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.要点三　圆的方程的综合应用例3　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解　(1)由已知，得C(3，0)，r＝＝2，∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2.∴P到

15、直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.规律方法　解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题．跟踪演练3　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝

16、PA

17、2＋

18、PB

19、2，求d的最大值及最小值．解　设P(x，y)，则d＝

20、PA

21、2＋

22、PB

23、2＝2(x2＋y2)＋2.∵

24、CO

25、2＝32＋42＝25，∴

26、CO

27、＝5，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，即16≤x2＋y2≤36.∴d的

28、最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74.91．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)A．(－2，3)，1B．(2，－3)，3C．(－2，3)，D．(2，－3)，答案　D解析　由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　)A．x2＋y2＝2B．