2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.2.3点到直线的距离学案湘教版必修

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1、7．2.3　点到直线的距离[学习目标]1．理解点到直线的距离，并会求点到直线的距离，掌握其公式．2．理解两条平行线间的距离，并会求两平行线间的距离，掌握其公式．3．掌握以向量为邻边的平行四边形面积公式和三角形面积公式，并会用其求面积．[知识链接]1．已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离

2、P1P2

3、＝．2．什么是平面上点到直线的距离？答　如图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足．[预习导引]1．点到直线的距离公式公式1：点P1(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝．2．两平行直线的距离公式两平行直线Ax＋

4、By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0之间的距离为d＝．3．平行四边形、三角形面积公式公式2：以向量(a1，b1)，(a2，b2)为相邻两边的平行四边形面积为：

5、a1b2－b1a2

6、，三角形面积为

7、a1b2－b1a2

8、．要点一　求点到直线的距离例1　求点P(1，2)到下列直线的距离：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．10解　(1)将直线方程化为一般式为：x－y－3＝0，由点到直线的距离公式得，d1＝＝2.(2)法一　直线方程化为一般式为y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d2＝＝3.法二　∵y＝－1平行于x轴，如图，∴d2＝

9、2－(－1)

10、＝3.(3)

11、法一　y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式得，d3＝＝1.法二　如图可知，d3＝

12、1－0

13、＝1.规律方法　(1)列举点到直线距离的特殊情形①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝

14、y0

15、.②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝

16、x0

17、.③点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝

18、y0－a

19、.当a＝0时，直线即x轴，d＝

20、y0

21、.④点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝

22、x0－b

23、.当b＝0时，直线即y轴，d＝

24、x0

25、.(2)点到直线距离公式的注意点点到直线的距离公式只适用于直线方程的一般式，若给出的直线方程不是一般式，则应先化为一般式．点P是任意的

26、点，当点P为(0，0)时，d＝；若点P在直线上，则点P到直线的距离为零，此公式仍然成立．跟踪演练1　点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为(　　)A．[0，10]B．(0，10)10C．[，]D．(－∞，0)∪[10，＋∞)答案　A解析　∵直线方程为4x－3y－1＝0，∴P到直线的距离为d＝＝，∴≤3，

27、15－3a

28、≤15，∴－15≤3a－15≤15，∴0≤a≤10，即a的取值范围为[0，10]．要点二　点到直线的距离公式的应用例2　(1)若点(－2，2)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，求c的值；(2)求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线

29、2x－y－1＝0距离为2的直线方程．解　(1)由点(－2，2)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，可得d＝＝＝3，解得c＝13，或c＝－17.(2)法一　由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋c＝0(c≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，∴

30、c＋1

31、＝2，c＝±2－1，∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.法二　设所求直线上任意一点P(x，y)，则P到2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，∴2x－y－1＝±2，∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.规律方法　(1)利用点到直线的距离公式时注意挖掘等量关系，求字

32、母的值时，一定不要忽略分子中的绝对值号，否则易漏解．(2)已知一直线及两平行直线间的距离求与这一直线平行的另一直线方程，一般先根据题意设出直线方程，然后利用两平行直线间的距离公式求解．也可以把两平行直线间的距离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题，然后利用点到直线的距离公式求解．跟踪演练2　(1)在x轴上求一点P，使它到直线3x－4y＋6＝0的距离为6；(2)求平行于直线x－y－2＝0且与它的距离为2的直线方程．10解　(1)设P(x0，0)，则＝6，解得x0＝8或－12，∴P点为(8，0)或(－12，0)．(2)设所求直线为x－y＋c＝0，则＝2.∴

33、c＋

34、2

35、＝4，∴c＝2或－6.∴所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y－6＝0.要点三　面积公式的应用例3　(1)平行四边形ABCD的四个顶点分别为A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，求平行四边形的面积；(2)已知点A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，求△ABC的面积．解　(1)＝(－4，3)，＝(8，0)，∴S▱ABCD＝

36、－4×0－3×8

37、＝24.(2)＝(1，3)，＝(－4，－2)，∴S△ABC＝

38、1×(－2)－(－4)×3

39、＝×10＝5.规律方法　利用面积公式求平行四边形或三角形面积时，一定