2018_2019学年高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示学案北师大版必修

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1、§6　平面向量数量积的坐标表示内容要求　1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)．知识点1　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)模、夹角、垂直的坐标表示：【预习评价】1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是(　　)A．34B．27C．－43D．－6解析　a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6.答案　D2．设向量＝(1

2、,0)，＝(1,1)，则向量，的夹角为(　　)A.B.C.D.解析　cosθ＝＝＝，∵θ∈[0，]，∴θ＝.答案　C知识点2　直线的方向向量(1)定义：与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝(1，k)．【预习评价】101．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是(　　)A．(2，－3)B．(2,3)C．(－3,2)D．(3,2)答案　D2．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为________．答案　x－3y＋5＝0题型一　平面向量数量积的坐标运算【例1】　已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b

3、＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)．∵a·b＝10，∴λ·cos0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2,4)．(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.规律方法　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．【训练1】　已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c

4、，a·(b·c)．解　(1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．题型二　平面向量的夹角问题【例2】　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．(1)

5、求使·取得最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.解　(1)∵点C是直线OP上的一点，∴向量与共线，10设＝t(t∈R)，则＝t(2,1)＝(2t，t)，∴＝－＝(1－2t,7－t)，＝－＝(5－2t,1－t)，∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．(2)由(1)知＝(4,2)，∴＝(－3,5)，＝(1，－1)，∴

6、

7、＝，

8、

9、＝，·＝－3－5＝－8.∴cos∠ACB＝＝－.规律方法　利用数量积求两向量夹角的步骤【训练2】　已知向量a＝e1－e2，b＝4e

10、1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)试计算a·b及

11、a＋b

12、的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值．解　(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，

13、a＋b

14、＝＝＝.(2)由a·b＝

15、a

16、

17、b

18、cosθ，10∴cosθ＝＝＝.【例3】　设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．求a－2b的坐标和模的大小．解　∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，∴

19、a－2b

20、＝＝.【迁移1】　若c＝3a－(a·b

21、)b，求

22、c

23、.解　a·b＝x1x2＋y1y2＝2，∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，∴

24、c

25、＝＝.【迁移2】　若ka－b与a＋b共线，求k的值．解　∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.【迁移3】　若ka－b的模等于.求k的值．解　∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)∵ka－b的模等于.∴＝，化简得k2＋2k－3＝0，解得k