2015年北京高考数学文科试题及答案

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1、绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合则（）(A)(B)(C)(D)（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）（A）（B）（C）（D）（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）（B）（C）（D）（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表

2、，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）（A）90（B）100（C）180（D）300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300（5）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）（A）3（B）4(C)5(D)6（6）设是非零向量，“”是“//”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）(A)1（B）（B）(D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加

3、满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程（A）6升（B）8升（C）10升（D）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数的实部为．（10）三个数中最大数的是．（11）在中，则．（12）已知是双曲线的一个焦点，则．（13）如图，及其内部的点组成的集合记为D，为D中任意一点，则的最大值为．

4、（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是．②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是．三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值。（16）（本小题13分）已知等差数列满足（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足；问：与数列的第几项相等？

5、（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18）（本小题14分）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，,且,分别为的中点。（Ⅰ）求证://平面;（Ⅱ）

6、求证：平面⊥平面;（Ⅲ）求三棱锥的体积。（19）（本小题13分）设函数。（I）求的单调区间和极值；（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。(20)(本小题14分)已知椭圆：,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点。（1）求椭圆的离心率；（II）若垂直于轴，求直线的斜率；（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由。绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）D（3）B（4）C（5）B（6）A（7）C（8）B二、

7、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（14）乙数学三、解答题（共6小题，共80分）（15）（13分）解：（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）当时，即时，取得最小值.所以在上的最小值为(16)(共13分)解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.又（Ⅱ）设等比数列的公比为.由与数列的第63项相等.（17）（共13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁

8、，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率