数学建模五步法案例

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1、数学建模五步法小论文问题再现：一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售额提高15%。⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何。⑷什么情况下折扣会导致利润的降低？问题一：一、问题的提出1.具体问题（1）多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。

2、（2）对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。（3）假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.（4）什么情况下折扣会导致利润的降低。2.符号的说明（1）每辆汽车的成本；（2）折扣前的销量；（3）折扣后的销量；（4）折扣前每辆车的价格；（5）折扣后每辆车的价格；（6）折扣前的销售额；（7）折扣后的销售额；（8）折扣前的利润；（9）折扣后的利润；由题意：折扣前的利润,设折扣为时，可使利润最高。此时假设活动

3、一次性完成，即厂家一次性降低美元，销售额提高可使利润最高。一、选择建模方法则由题中已知条件可得方程组二、推导模型公式由各关系式可推出折扣后的利润函数为：三、求解模型已知厂商折扣后的利润函数为：为使厂商利润最大，令解得：四、回答问题一般情况下，无论值取多少，厂商为了使得利益最大，都会选择降价420美元左右。问题二：灵敏性分析题中估计每折扣100美元销售量提高15%，现在假设其实际值是不同的，对几个不同的值13%，14%，16%，17%，重复问题一中的求解过程,以此来分析销售量提高率的敏感程度。同理，还是对厂商利润函数求导，使之等于0解得不

4、同提高率下的降价金额如表1所示：表1不同提高率下的降价金额销售量提高率降价金额（美元）13%365.414%392.915%42016%437.517%455.9利用表2中数据在matlab中画图，输入命令：x=[0.130.140.150.160.17];y=[365.4392.9420437.5455.9];plot(x,y,'*')得图2：图2由图可以看到厂商需降价的金额对销量的提高率是很敏感的。问题三：若实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，同样我们可以通过对利润函数求导，并令导数等于0，求得相应的x值是2.5，即厂商

5、欲获利最大，需将价格下降250美元；假设销量提高率在10%到15%之间的某一个数，我们设为r，则，通过对利润函数求导使之等于0得到：，当时，每个r都对应着一个应降价的金额，利用matlab做其函数关系如图3输入命令：x=[0.100.110.120.130.140.15];y=7.5-1./(2*x)plot(x,y,'*')得图3：图3问题四：厂商降价幅度超过最优解后，接着降价则会导致厂商总利润降低。