高中数学第二章2.3.2抛物线的几何性质学案新人教b版

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1、2．3.2　抛物线的几何性质1．掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系．(难点)[基础·初探]教材整理　抛物线的简单几何性质阅读教材P59～P60例1以上部分，完成下列问题．1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝12.直线与抛物线的位置关系9判断(正确的打“√”，错误的打“×”

2、)(1)抛物线是中心对称图形．(　　)(2)抛物线没有渐近线．(　　)(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(　　)(4)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________

3、________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________9[小组合作型]抛

4、物线的几何性质　(1)抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________.【导学号：25650082】【自主解答】　因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍，所以2p＝16.故所求抛物线方程为x2＝±16y.【答案】　x2＝±16y(2)已知抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程．【自主解答】　抛物线方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y(a≠0)．当a＞0时，抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.当a＜0时，抛

5、物线开口向下，焦点坐标为，准线方程为y＝－.综上所述，抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为y＝－.把握三个要点确定抛物线简单几何性质1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．2．关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴．3．定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.[再练一题]1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的

6、方程及抛物线的准线方程.【导学号：25650083】【解】　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，9∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.直线与抛物线的位置关系　已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k(k∈R)．当k为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？【精彩点拨】　要解

7、决这个问题，只需讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系．【自主解答】　由题意可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，把直线l的方程和抛物线的方程联立得方程组(*)消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，①(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.把y＝1代入y2＝4x中，得x＝.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.(2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝.于是，当k＝－1或

8、k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－10，解得k<－1或k>.于是，当k<－1或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，这时，直线l与抛物线没有公共点．9综上，我们可得：当k＝－1或k＝或k＝0时