通用2018高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二十六临界知识问题理

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1、课时跟踪检测（二十六）临界知识问题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)A．y＝　　　　　　　B．y＝C．y＝D．y＝解析：选B　法一：特殊值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.法二：设x＝10m＋α(0≤α≤9)，当0≤α≤6时，＝＝m＝，当6＜α≤9时，＝＝m＋1＝＋1，所以选B.2．对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(

2、－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是(　　)A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)B．f(x)＝2－

3、x－1

4、C．f(x)＝2x－x2D．f(x)＝x－sinx解析：选D　因为f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)的零点即为方程x2＋bx－1＝0的根，所以Δ＝b2＋4＞0，且方程x2＋bx－1＝0有一正根一负根，故函数f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)是“含界点函数”；令2－

5、x－1

6、＝0，得x＝3或x＝－1，故f(x)＝2－

7、x－1

8、在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，即f(

9、x)为“含界点函数”；作出y＝x2和y＝2x的图象，可知f(x)＝2x－x2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f(x)＝2x－x2是“含界点函数”；因为f(x)＝x－sinx在R上是增函数，且f(0)＝0，故f(x)＝x－sinx不是“含界点函数”．3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝xsinx；⑤y＝中，属于有界泛函数的序号是________．解析：当x≠0时，①＝2≤2；6④＝

10、sinx

11、≤1；⑤＝≤.对于②，当x≥4时，2x≥x2，＝≥＝

12、x

13、无界；对于③，当x≠0时，＝

14、x

15、无界．故填①④⑤.答案：①④⑤4．对于具

16、有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)＝kx＋b(k，b为常数)对任给的正数x，存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有x→∞时f(x)－g(x)→0，则称直线l：y＝kx＋b为曲线y＝f(x)和y＝g(x)的“分渐近线”．给出定义域均为D＝{x

17、x＞1}的三组函数如下：①f(x)＝x2，g(x)＝；②f(x)＝10－x＋2，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)，其中，曲线y＝f(x)和y＝g(x)存在“分渐近线”的是________．(填序号)解析：f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f(x)－g

18、(x)→0.对于①：f(x)＝x2，g(x)＝，因为当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝(x－1)→＋∞，所以①不存在；对于②：f(x)＝10－x＋2，g(x)＝，因为当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝＋→0，所以存在分渐近线；对于③：f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)，当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝＋2＋→0，因此，存在分渐近线．故存在分渐近线的是②③.答案：②③5．求函数f(x)＝＋1(0＜x＜100)的值域．([x]表示不大于x的最大整数)解：①当0＜x＜15时，得0＜＜1，6则＝0，f(x)＝1.②当15≤x＜100时，－1≤

19、＜－，所以f(x)＝－＋1，因为1≤＜＝6，所以＝1,2,3,4,5,6，f(x)＝0，－1，－2，－3，－4，－5.所以值域为{1,0，－1，－2，－3，－4，－5}．6．已知上凸函数f(x)在定义域内满足f＞.若函数y＝sinx在(0，π)上是上凸函数，那么在△ABC中，求sinA＋sinB＋sinC的最大值．解：因为y＝sinx在(0，π)上是上凸函数，则(sinA＋sinB＋sinC)≤sin＝sin＝，即sinA＋sinB＋sinC≤，当且仅当sinA＝sinB＝sinC时，即A＝B＝C＝时，取等号．故sinA＋sinB＋sinC的最大值为.7．已知不

20、等式＋＋…＋＞[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1＝b(b＞0)，an≤，n＝2,3,4，….(1)证明an＜，n＝3,4,5，…；(2)试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有an＜.解：(1)证明：法一：因为当n≥2时，0＜an≤，所以≥＝＋，即－≥，于是有－≥，－≥，…，－≥.所有不等式两边相加可得－≥＋＋…＋.6由已知不等式知，当n≥3时，有－＞[log2n]．因为a1＝b，所以＞＋[log2n]＝.所以an＜.法二：设f(n)＝＋＋…＋，首先利用数学归纳法

21、证不等式an≤，n＝3,