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《通用2018高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测十九立体几何理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时跟踪检测（十九）立体几何1.(2018届高三·广西五校联考)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AE.∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.(2)以O为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立如图
2、所示的空间直角坐标系Oxyz，设CF＝a，则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1，0，a)(a＞0)，＝(－1,0，a)．设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(－2,0,1)，由题意得sin45°＝
3、cos〈，n〉
4、＝＝＝，解得a＝3或a＝－.由a＞0，得a＝3，＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，∴cos〈，〉＝＝，故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.2.(2017·合肥模拟)如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，A
5、B＝AA1＝2A1B1＝2.(1)若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．7解：(1)证明：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴△ACD为等边三角形，又M为CD中点，∴AM⊥CD，由CD∥AB得，AM⊥AB.∵AA1⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴AM⊥AA1.又AB∩AA1＝A，∴AM⊥平面AA1B1B.(2)∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，∴DM＝1，AM＝，∴∠AMD＝∠BAM＝90°，又AA1⊥底面ABCD，∴以A为
6、坐标原点，AB，AM，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，，0)，D1，∴＝，＝(－3，，0)，＝(2,0，－2)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则n＝(1，，1)，∴
7、cos〈n，〉
8、＝＝＝.∴直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为.3.(2018届高三·洛阳四校调研)如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，二面角FABD是直二面角，BE∥AF，BC∥AD，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1.
9、(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值．解：(1)证明：由已知得，BE∥AF，BE⊄平面AFD，AF⊂平面AFD，∴BE∥平面AFD.7同理可得，BC∥平面AFD.又BE∩BC＝B，∴平面BCE∥平面AFD.设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过点C.∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，平面DFC∩平面AFD＝DF，∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DF∥l.(2)∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，FA⊂平面ABEF，又
10、∠FAB＝90°，∴AF⊥AB，∴AF⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD，∴AF⊥AD.∵∠DAB＝90°，∴AD⊥AB.以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，D(1,0,0)，C(2，2,0)，F(0,0,2)，∴＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)．设平面DFC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(2，－1,1)，不妨取平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)，∴cos〈m，n〉＝＝＝，由于二面角FCDA为锐角，因此二面角FCDA的余弦值为.4．(2017·全
11、国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角MABD的余弦值．解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD，又BC＝AD，所以EF綊BC，所以四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，7又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)由已知得
12、BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，
13、
14、为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1
