再探一道折叠试题

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1、再探“一道折叠试题”——《一道折叠试题的探究之旅》引发的思考浙江省宁波市曙光中学章剑雄研读《中学数学教学参考》2012年第6期刊登的余旭红老师撰写的《一道折叠试题的探究之旅》一文后，笔者对作者循循善诱、层层引导的教学态度深表敬意，也对这道“折叠试题”进行了细细咀嚼，联想日常教学，激起笔者再探这道折叠试题的强烈欲望，现把自己的一些思考和想法呈现如下，以求教于大方．1关于折叠问题原题呈现如图1，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P．随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重

2、合），试求△PDM的周长．AMPNFEDCB图1AMPNFEDCB图2H原文中，作者示例了两类解法，解法一：利用相似直接用计算方法求△PDM的周长；解法二：猜想周长为AD+DC=8，从而学生把问题转变成用“截长补短”法证明MP=MA+PC．而第二类解法正是作者文章重点之所在，面对学生苦苦探索，穷尽多种方法，从课内到课外依然无法找到解决问题的有效突破口，甚至师生人为地增加条件∠MBP=450也无济于事，无法越过“障碍”，完成证明．笔者以为在这道折叠问题中，作者忽略了“折叠即轴对称”这一折叠类问题的基本思想，即对称轴（折痕）两侧对应图形全等，其中对应边相等，对应角相等．也正因为如此，面

3、对题目，学生有猜想、有直觉，甚至都准备好了“截长补短”法这一证明线段和、差的最直接的方法跃跃欲试时卡在那儿了，只好绕道行之，并且直至文章结尾都没有解决好，学生“悱”而老师未“发”．事实上，此题在其折叠背景下（图2），直击“折叠即轴对称”，得EB=EM、∠EBC=∠EMN=900这两个基本备用结论．学生想用截长补短的方法，在线段MP上已截取MH=MA的情形下还需证明剩余的PH=PC，故想及证明△PHB≌△PCB，而它们全等所需要的一些条件还需先证明△MAB≌△MHB，在已有两对等边MH=MA、MB=MB的情形下最快的路就是证它们的夹角∠AMB和∠HMB相等，此时只需设动角∠AME=，

4、由EB=EM得∠EMB=，可得∠AMB=；再由∠EBC=∠EMN=900得∠HMB=，则得∠AMB=∠HMB，接下来拉上已知的公共边MB=MB，所作的MH=MA，立马可得△MAB≌△MHB，则得HB=AB且∠A=∠MHB=900，又因为正方形ABCD，所以∠C=∠PHB=∠MHB=900且HB=AB=CB，轻松证得△PHB≌△PCB，所以PH=PC……至此，学生的“悱”畅快而“发”！并且我们看到证明过程中根本无需额外再加条件，诸如∠MBP=450等，相反，“∠MBP=450”显而易见可在这两对三角形全等后∠MBP=∠ABC=450畅快得之！2关于“K”形相似基本图形2．1“K”形相

5、似基本图形在这道折叠图形问题中，隐含着一个巧妙而又实用的相似基本图形（图3）：ADC图3BP其有性质：若∠B=∠C=∠APD=900，则．结论的推导较简单：由∠B=∠APD=900得：∠A+∠APB=∠APB+∠DPC=900，即∠A=∠DPC，又∠B=∠C=900，则△ABP∽△PCD，即成立．这个图形极像英文字母“K”，我们不妨称之为“K”形相似基本图形．“K”形图小块头有大用处：相似就能得到对应角、尤其是对应边的数量关系，这往往让我们在一些涉及边的数量关系的复杂图形题目中有着“柳暗花明又一村”的功效．题1（某区2012年初中毕业生学业测试）如图（图4），已知点A、B分别在反比

6、例函数、的图像上，且OA⊥OB，则tanB=()(A)(B)(C)(D)HGBAyO图4BAyO图5乍一眼看去，这题目整一个云雾缭绕：不确定的函数图像，不确定的点A、点B，不确定的△AOB，似乎也不确定的∠B，怎么会有确定的tanB值呢？一时无从下手，再细细观察所给图形，这些不确定因素中，有一个确定的∠AOB=900，和轴一整合，不就是一张亲切的“K”形图么！那就分别过A、B两点作轴的垂线段AG、BH（图5），易得△AGO∽△BHO，可得，设A()，B()可得，即，故Rt△AOB中tanB=====，所以选D．2．2“K”形图的巧妙运用巧用、活用“K”形图，关键在于图形中找到或构造

7、以同一条直线上的三个点为顶点的三个直角．题2如图（图6），△ABC中，∠B=900，∠C=300，点A的坐标为（1，），点C在轴上，若双曲线过点A、B，求点B的坐标．OCBA图6OCBA图8GHMOCBA图7GH本题很容易过度关注条件∠B=900，∠C=300，它迅即让人想到AB：BC：AC=1：：2，然后按常规思路，要求点B坐标，则过点B分别作轴、轴的垂线段BH和BG，但再往下点B的纵、横坐标找不到数量关系了，不少学生觉得茫然无路．但也会有冷静的学生看出症结所在，作