方向余弦与方向数

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1、方向余弦与方向数　  解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。方向角与方向余弦  设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.  关于方向角的问题  若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。  方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。  设有空间两点，则

2、其方向余弦可表示为：                                                                       从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式：                         注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。方向数  方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。

3、这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线的方向数，记作：{A，B，C}.即：                         据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式：         ，，  其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。  关于方向数的问题  空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。两直线的夹角   设L1与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段.则线段的夹角称为此两直线L1与L2的夹角.  若知道L1与L2的

4、方向余弦则有公式为：                          其中：θ为两直线的夹角。  若知道L1与L2的方向数则有公式为：                        两直线平行、垂直的条件  两直线平行的充分必要条件为：                          两直线垂直的充分必要条件为：