数学基础1.3方向余弦阵

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1、理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系理论力学CAI数学基础方向余弦阵前言矩阵矢量方向余弦阵平面矢量方向余弦阵方向余弦阵的定义方向余弦阵的性质方向余弦阵2021/6/102理论力学CAI数学基础方向余弦阵方向余弦阵的定义方向余弦阵的性质方向余弦阵2021/6/103理论力学CAI数学基础方向余弦阵的定义问题的提出方向余弦阵定义方向余弦阵/定义2021/6/104理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义问题的提出同一个矢量在不同基下坐标阵的关系2021/6/105理论力学CAI

2、数学基础方向余弦矩阵/定义问题的提出同一个矢量在不同基下坐标阵的关系2021/6/106理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义问题的提出～不等但有关系2021/6/107理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义方向余弦矩阵的定义对于两个不同的基定义如下3*3标量阵为基关于基的方向余弦矩阵方向余弦矩阵的元素是两基基矢量夹角的余弦2021/6/108理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义方向余弦阵的元素的几何意义行阵的转置是基的基矢量在基下的坐标阵坐标阵基矢量2021/6/109理论力学CAI数学

3、基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义列阵是基的基矢量在基下的坐标阵坐标阵基矢量2021/6/1010理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义基关于基的方向余弦矩阵对应于如下的表行阵的转置是基的基矢量在基下的坐标阵列阵是基的基矢量在基下的坐标阵小结2021/6/1011理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义[例]已知基的三个基矢量在基的坐标阵分别为求基关于基的方向余弦阵[解]由定义，基关于基的方向余弦阵2021/6/1012理论力学C

4、AI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义[例]求图示基对基方向余弦阵其中:AB=AD=DP=1[解]基基矢量关于基的坐标阵ADCBP基关于基的方向余弦阵2021/6/1013理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系方向余弦阵元素间的关系单位基矢量2021/6/1014理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系三基矢量正交2021/6/1015理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系三基矢量正交(右旋)2021/6

5、/1016理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系三基矢量正交(右旋)三基矢量正交2021/6/1017理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系方向余弦阵九个元素应满足六个的代数方程三基矢量正交方向余弦阵九个元素中只有三个是独立的单位基矢量2021/6/1018理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系[例]已知矢量与在基下的坐标阵为如果基的基矢量和分别与和的方向一致求基关于基的方向余弦阵2021/6/1019理论力学CAI数学

6、基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系[解]基矢量和基下的坐标阵为在基下的坐标阵为模基矢量2021/6/1020理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系基矢量,j=1,2,3,在基下的坐标阵为基关于基的方向余弦阵2021/6/1021理论力学CAI数学基础方向余弦阵方向余弦阵的定义方向余弦阵的性质方向余弦阵2021/6/1022理论力学CAI数学基础方向余弦阵的性质方向余弦阵/性质2021/6/1023理论力学CAI数学基础方向余弦阵/性质性质1:基关于基的方向余弦

7、阵与基关于基的方向余弦阵互为转置证明2021/6/1024理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/性质性质2:当两个基的基矢量的两两方向一致，则它们的方向余弦阵为三阶单位阵证明2021/6/1025理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/性质性质3:若有三个基、与。其中基关于基和基关于基的方向余弦阵分别为与，则基关于基的方向余弦阵为此关系可推广到有限个基的方向余弦阵转换证明2021/6/1026理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/性质性质4:方向余弦阵是一正交阵证明2021/6/1027理论力学CAI数学

8、基础方向余弦矩阵/性质性质5:不同基下坐标阵之间的关系式为证明2021/6/1028理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/性质性质6:不同基下的坐标方阵之间的关系式为考虑矢量式的坐标阵的运算式证明引入任意矢量对于任意矢量2021/6/1029理论力学CAI数学基础基关于基的方向余弦阵方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系[例]已知矢量与的坐标阵求标量与在基下的坐标阵表达式[解]2021/6/1030理论力学CAI数学基础方向余弦矩阵/性质性质7:方向余弦阵的行列式等于1证明202