专题七 第2讲

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1、第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)A.1B.－C.1或－D.－1或解析　当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).综上可知，q＝1或－.答案　C2.过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则·的值为(　　)A.a2B.b2C.2abD.a2＋b2解析　当直线PQ与x轴重合时，

2、

3、＝

4、

5、＝a，故选A.答案　A3.已知a＝log23＋log2，b＝log

6、29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)A.a＝b＜cB.a＝b＞cC.a＜b＜cD.a＞b＞c解析　∵a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，∴a＝b.又∵函数y＝logax(a＞1)为增函数，∴a＝log23＞log22＝1，c＝log32＜log33＝1，∴a＝b＞c.答案　B4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)A.{1，3}B.{－3，－1，1，3}C.{2－，1，3}D.{－2－，1，3}解析　令x＜0

7、，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1，3}.答案　D二、填空题5.若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________.解析　当n≥2时，an＝Sn

8、－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足式子an＝2×3n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.答案　2×3n－16.方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围是________.解析　求k＝－sin2x－cosx的值域.k＝cos2x－cosx－1＝－.当cosx＝时，kmin＝－，当cosx＝－1时，kmax＝1，∴－≤k≤1.答案　7.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三形的三个顶点，且

9、PF1

10、＞

11、PF2

12、，则的值为________.解

13、析　若∠PF2F1＝90°，则

14、PF1

15、2＝

16、PF2

17、2＋

18、F1F2

19、2，∵

20、PF1

21、＋

22、PF2

23、＝6，

24、F1F2

25、＝2，解得

26、PF1

27、＝，

28、PF2

29、＝，∴＝.若∠F2PF1＝90°，则

30、F1F2

31、2＝

32、PF1

33、2＋

34、PF2

35、2＝

36、PF1

37、2＋(6－

38、PF1

39、)2，解得

40、PF1

41、＝4，

42、PF2

43、＝2，∴＝2.综上所述，＝2或.答案　2或8.已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－

44、.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g′(x)＝＞0，g(x)在区间[－1，0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.答案　4三、解答题9.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn＝

45、a1

46、＋

47、a2

48、＋…＋

49、an

50、，求Sn.解　(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－a

51、n，所以{an＋1－an}为常数列，所以{an}是以a1为首项的等差数列，设an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d，所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n＞5时，an＜0；当n＝5时，an＝0；当n＜5时，an＞0.所以当n＞5时，Sn＝

52、a1

53、＋

54、a2

55、＋…＋

56、an

57、＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，Tn＝a1＋a2＋…＋an，当n≤5时，Sn＝

58、a1

59、＋

60、a2

61、＋…＋

62、an

63、＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.所以Sn＝10

64、.(2015·辽宁五校协作体联考)定义