专题探究课二高考中三角函数与平面向量问题的热点题型

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1、(建议用时：60分钟)1.已知函数f(x)＝sinωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f的值；(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值.解　(1)当ω＝1时，f＝sin＋cos＝＋0＝.(2)f(x)＝sinωx＋cos＝sinωx＋cosωx－sinωx＝sinωx＋cosωx＝sin，∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin，由x∈，得2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.2.(2016·合肥模拟)已知函数f(x)＝sinx＋cosx.(1)求函数y＝f(x)在x∈[0，2π]上的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A

2、，B，C的对边分别是a，b，c，已知m＝(a，b)，n＝(f(C)，1)，且m∥n，求B.解　(1)f(x)＝sinx＋cosx＝sin，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，又∵x∈[0，2π]，∴f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，.(2)由题意f(C)＝sinC＋cosC，∵m∥n，∴a·1－f(C)·b＝0，即a＝b(sinC＋cosC)，由正弦定理＝，得sinA＝sinB(sinC＋cosC)＝sinBsinC＋sinBcosC.在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBs

3、inC，∴sinBsinC＝cosBsinC.又sinC≠0，∴sinB＝cosB，∴tanB＝1，又∵0＜B＜π，∴B＝.3.(2016·济南名校联考)已知函数f(x)＝sinωx＋2cos2＋1－(ω＞0)的周期为π.(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间；(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h(x)的图象，若h(x)为奇函数，求φ的最小值.解　(1)f(x)＝sinωx＋2cos2＋1－＝sinωx＋2×＋1－＝sinωx＋cosωx＋1＝2sin(ωx＋)＋1.又函数f(x)的周期为π，因此＝π，∴ω＝2.故f(x)＝2sin＋1

4、.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由题意可知h(x)＝2sin，又h(x)为奇函数，则2φ＋＝kπ，∴φ＝－(k∈Z).∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值.4.(2014·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长.解　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝×－×＝.(2)在△ABD中，由

5、正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.5.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B，2cos2－1)，且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值.解　(1)∵m∥n，∴2sinB＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－.又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cosB＝，得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4

6、，当且仅当a＝c＝2时等号成立.故S△ABC＝acsinB＝ac≤，当且仅当a＝c＝2时等号成立，即S△ABC的最大值为.6.(2016·南昌模拟)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－sin2x)，b＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值.解　(1)f(x)＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋2cos，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴

7、函数y＝f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，∴cos＝－1，又＜2A＋＜，∴2A＋＝π，即A＝.∵a＝，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7.①∵向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，∴2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，②由①②得b＝3，c＝2.