立几知识要点复习(精典）

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1、立体几何要点复习I.基础知识要点一、异面直线考点①异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.②异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线aˊ／／a,b＇／／b,相交直线a＇，b＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b所成的角∈。求异面直线的夹角常用平移法和向量法。③异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。（2）求

2、异面直线的距离的常用方法有：1）直接找公垂线段而求之。2）转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和平行另一条直线。3）利用向量法：常利用端点在两条异面直线上的有向线段在公垂线的方向向量上的投影。如图：AB为公垂线段，④异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线a,b所成的角为，在a,b上分别取点E，F，已知AB为公垂线段，长度为d,BE＝m,AF=n,EF=l则l＝（同侧为减，异侧为加）二、重要知识点：1.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2.等角定理：如果一个角的两边和另一

3、个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.3.三垂线定理的逆定理亦成立.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。　三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行

4、.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）4.⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上三、直线和平面所成的角：平

5、面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°—21—，所以直线和平面所成的角的范围是利用法向量可处理线面角问题：设为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有（图1）或（图2）图1　　　　　　　　　　　　　　图2四、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图

6、形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，棱为l，两个面分别为，的二面角记为-l-,一个平面垂直于二面角-l-的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角-l-,的平面角。一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［00，180°］计算二面角的方法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形)（2）

7、射影面积法（3）有平面角向量法(常用基向量法)(4)法向量法(常用坐标法)：利用法向量可处理二面角问题设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图3）或（图4）图3图4—21——21—五、例题精讲：例1[2012·南京二模]直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．图1解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，

8、a

9、＝

10、b

11、＝

12、c

13、且a·b＝b·c＝

14、c·a＝0.∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，∴

15、

16、＝

17、a

18、，

19、

20、＝

21、a

22、.·＝(－a＋c)·＝c2＝

23、a

24、2，—21—∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.例2如图2，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD.(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)设E是棱PD上一点，且PE＝PD，求异面直线A