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1、立体几何要点复习I.基础知识要点一、异面直线考点①异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.②异而直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异而直线，经过空间一点O,分别引直线a"/la,（Jibz//b,相交直线以，『所成的锐角（直角）叫异而直线a,b所成的角&丘0,-oI2」求异面直线的夹角常用平移法和向量法。③异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线冇TL只冇一条。而和两条异而直线都垂直的直线有无数条。（2
2、）求异面直线的距离的常用方法有：1）直接找公垂线段而求Z。2）转化为求直线到平而的距离，即过其中一条直线作平而和平行另一条直线。3）利用向量法：常利用端点在网条异而直线上的有向线段在公垂线的方向向量上的投影。如图：AB为公垂线段，④异而直线上两点的距离公式：己知两条异而直线a,b所成的角为。，在a,b上分别取点E,F,己知AB为公垂线段,长度为d,BE=m,AF=n,EF=i则1=^d2+nV+it—ImnCosO（同侧为减，异侧为加）二、重要知识点：1.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2.等角定
3、理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别半行并R方向相同，那么这两个角相等（如下图）.推论:观恭膚条相交聯和屈两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.3.三垂线定理的逆定理亦成立.三垂线定理：在平而内的一条直线，如果它和这个平而的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在7W丙的-条直线，如果它和这个平而的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平而内的射影垂直。［注］:①垂直于同一平面的两个平面平行.（X）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）•••••••••②垂
4、直于同一宜线的两个平面平行.（J）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（J）4.⑴垂线段和斜线段长定理：从平血外一点向这个平血所引的垂线段和斜线段中••①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.［注］：垂线在平面的射影为一个点.［一条直线在平面内的射影是一条直线.（X）1⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平呦内的射影在这个角的平分线上三、直线和
5、平面所成的角：平而的i条斜线和它在平而内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平而所成的角。特别当i条直线和平而垂直吋,就说直线与平面所成的角是直角，当一条頁线在平面内或和这个平面平行时，我们规定肓线和平面所成的角为0。，所以直线和平而所成的角的范围是［o,彳利用法向量可处理线面角问题：设0为直线/与平面Q所成的角，0为直线/的方向向量卩与平面a的法向量“Z间的夹角，则有卩社"图1）或厂亍恥图2）图1四、二面角：平而内的一条直线把平而分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平而所组成的图形叫二
6、而角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平而叫做二而角的面，棱为1,两个面分别为&,0的二而角记为a-1-0,—个平面乖直于二面角a-1-/3的棱，且与两个半平面的交线分别是射线oa,ob,o为垂足，则zaob叫做二面角a-1-0,的平面角。一个二面角的大小可用它的平面角的大小來衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0°,180°］计算二面角的方法：（1）定义法（常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的-•个面上一点向另-•个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形）（2
7、）射影面积法（3）冇平面角向量法（常用基向量法）（4）法向量法（常用坐标法）：0^71-a利用法向量可处理二面角问题设n},n2分别为平面的法向量，二面^a-l-p的大小为&，向量n},n2的夹角为卩，则有&+0=龙（图3）或8=（p（图4）也本公理公02尺公3公4公/Aa=a位左关系»»面线点面线面平行关系面线H弘a心场♦♦C/J/aaa♦a=am♦线而"KZa・〃Ua・"*A”—P）亠“丄a•线线垂f[=线面垂克a丄ma丄界丿；；°}=>a//k'线面垂立=线线平行面面/丄的U尸线面垂氏二面*8、i^aH^=I.aCa-all=>a丄0・面面垂血=>线面垂ft空间角定义特殊悄况线线仰把两#面血线#移列柯交时购HI交“线所成的角两血线平行时角为『[°-2]所欣角为90•时称料曲钱爲直钱■㈱平向的一条斜纯与其在诛平断上的射Q所成的攸如钱*i平荷戒域在千面内时线面角为（）•[。•知时线面角为90・二血如在_.向角的槪上一点向两个半¥面内作垂“祓的承线•这弼条射线所成的和弭个半平Ifa
