高中数学第7章解析几何初步7.1点的坐标学案湘教版必修3

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1、7．1　点的坐标[学习目标]1．了解从任意一点出发的向量的坐标表示．2．理解两点间距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离．3．理解一点分有向线段所成的比，掌握定比分点坐标公式，并会应用．[预习导引]1．向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．2．两点间的距离公式两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离

2、AB

3、＝.3．中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝．4．定比分点坐标公式已知两点的坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，且点P(x，y)分有向线段所成的比为λ，则x＝

4、，y＝．要点一　向量的坐标运算例1　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N的坐标及＋.解　法一　由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，得＝(1，8)，＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝(6，3)，＝2＝2(6，3)＝(12，6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，11∴　即又＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，∴　即∴N(9，2)．∴＝(9，－18)，又＝(5，－5)，∴＋＝(9，－18)＋(5，－5)＝(9，－18)＋(1，－1)＝(10，－19)．故M(0，20

5、)，N(9，2)，＋＝(10，－19)．法二　取点O为原点，由＝3，得－＝3－3，即＝3－2＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(－6，12)＋(6，8)＝(0，20)，∴M(0，20)．由＝2，得－＝2－2，即＝2－＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(6，－2)＋(3，4)＝(9，2)，∴N(9，2)．又＝(5，－5)，＝(9，－18)，∴＋＝(10，－19)．规律方法　向量的坐标等于它的终点坐标减去起点的坐标，解答本题的关键是求M，N点的坐标，利用向量相等通过待定系数法求M，N点的坐标．跟踪演练1　已知A、B、C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2

6、)，＝，＝，求向量.11解　∵＝(2，2)，＝(－2，3)，∴＝＝(，)，＝＝(－，1)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，∴(x1，y1)－(－1，0)＝(，)，(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)，∴(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)，∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，0)－(－，)＝(，－)．要点二　两点间的距离公式及中点坐标公式的应用例2　已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(2，4)，求AB边上的中线的长．解　设AB中点M(x，y)，已知A(3，2)，B(1，0)，则由中点坐标公式，有∴AB中点为M(2，1)，

7、又C(2，4)，∴由两点间距离公式得

8、CM

9、＝＝3.∴AB边上的中线的长是3.规律方法　(1)点P1，P2的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为

10、P1P2

11、＝.(2)距离公式的几个特例：①当P1P2⊥x轴时，

12、P1P2

13、＝

14、y2－y1

15、；②当P1P2⊥y轴时，

16、P1P2

17、＝

18、x2－x1

19、；③若P2为原点，则

20、P1P2

21、＝.跟踪演练2　已知平行四边形三个顶点坐标分别为(－1，－2)，(3，1)，(0，2)，求平行四边形第四个顶点的坐标．解　设A(－1，－2)，B(3，1)，C(0，2)，第四个顶点的坐标为D(x，y)．(1)若四边形ABCD是平行四边形，则由中点坐标公

22、式得11解得∴点D坐标为(－4，－1)．(2)若四边形ABDC是平行四边形，则由中点坐标公式得解得∴点D坐标为(4，5)．(3)若四边形ACBD是平行四边形，则由中点坐标公式得解得∴点D坐标为(2，－3)．综上所述，第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4，5)或(2，－3)．要点三　定比分点坐标公式的应用例3　已知A(1，3)，B(－2，0)，C(2，1)为三角形的三个顶点，L，M，N分别是BC，CA，AB上的点，满足BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，求点L，M，N的坐标．解　因为A(1，3)，B(－2，0)，C(2，1)，所以＝(1，3)，＝(－2，0)，

23、＝(2，1)，又因为BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，所以由＝2，得＝＋＝(2，1)＋(－2，0)＝(－，)；由＝2，得＝＋＝(1，3)＋(2，1)＝(，)；由＝2，11得＝＋＝(－2，0)＋(1，3)＝(0，2)，所以点L，M，N的坐标分别为L(－，)，M(，)，N(0，2)．规律方法　设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为两定点，P为直线P1P2上一点，且＝λ(λ≠－1)，则点P的坐标是(，)．事实上，设点P(x，y)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，∴可得在利用该公式时，一定要准确．跟踪演练3　过点P1(2，