高中数学第7章解析几何初步7.5空间直角坐标系学案湘教版必修3

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1、7．5　空间直角坐标系[学习目标]1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．掌握空间两点间的距离公式．[知识链接]在平面直角坐标系中，以点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为，两点间的距离为

2、P1P2

3、＝．[预习导引]1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．

4、2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．3．空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离

5、OP

6、＝．(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离

7、P1P2

8、＝.要点一　求空间中点的坐标例1　建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．解　11以BC的中点O为原点，BC所在的直线为y轴，射线OA所在的直线为

9、x轴，点O与B1C1的中点的连线所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝×2＝，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A1(，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，－1，3)．规律方法　(1)题目若未给出坐标系，则建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．跟踪演练1　画一个

10、正方体ABCD－A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．(1)求各顶点的坐标；(2)求棱C1C中点的坐标；(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标．解　建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)．(2)棱CC1的中点为M.(3)面AA1B1B对角线交点为N.要点二　求空间中对称点的坐标11例2　在空间直

11、角坐标系中，点P(－2，1，4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝

12、2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．规律方法　任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z)．求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．跟踪演练2　求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称

13、点的坐标．解　如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1)．过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2，1)．∴点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1，2，1)；点A(1，2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2，1)．11(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)要点三　空间中两点之间的距离例3　已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．(1)求△ABC中

14、最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度．解　(1)由空间两点间距