3.1两角和与差的余弦公式

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1、第三章　三角恒等变换3．1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．推导并理解两角和与差的余弦、正弦、正切公式，掌握公式的结构特征．2．灵活掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用，并运用之求值与证明．一、两角和的余弦公式将－β代替公式cos＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β，得到cos＝cosαcos＋sinαsin，即cos＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，这就是两角和的余弦公式．练习1：cos(45°＋30°)＝．练习2：cos20°cos70°－sin20°si

2、n70°＝0．1．两角和与差的余弦公式的适用范围及公式的特征有哪些？解析：(1)适用范围：没有限制条件，α、β、α＋β、α－β均为任意角，可以是数、字母和代数式．(2)公式特征：同名异号——同名：两同名三角函数相乘；异号：公式左右加减号相反．二、两角和与差的正弦公式9sin＝cos＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ，即sin＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，这就是两角和的正弦公式．以－β代替公式sin＝sinαcosβ＋cosαsinβ中的β，得到sin＝sinαcos＋cosαsi

3、n＝sinαcosβ－cosαsinβ，即sin＝sin_αcos_β－cos_αsin_β，这就是两角差的正弦公式．练习3：sin(60°＋45°)＝．练习4：sin(60°－45°)＝．2．两角和与差的正弦公式的适用范围及公式的特征有哪些？解析：(1)适用范围：没有限制条件，α、β、α＋β、α－β均为任意角，可以是数、字母和代数式．(2)公式特征：“异名同号”——异名：两异名三角函数相乘；同号：公式左右加减号相同．三、两角和与差的正切公式由于tan＝＝，若cosαcosβ≠0，将上式分子、分母同除以cosαcosβ，得到tan＝，这

4、就是两角和的正切公式．以－β代替公式tan＝中的β，得到tan＝＝，即tan＝，这就是两角差的正切公式．9练习5：＝．3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特征有哪些？解析：(1)适用范围：限制条件：α、β、α＋β均不为kπ＋(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进行说理：cos(α＋β)≠0，则α＋β≠kπ＋；同除cosα、cosβ，得cosα≠0，cosβ≠0，则α≠kπ＋，β≠kπ＋.cosx≠0，保证了tanx有意义．(2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想到韦达定理．1．下列式子中，正确的个数为(B)

5、①sin＝sinα－sinβ；②cos＝cosα－cosβ；③sin＝sinαcosβ－cosαsinβ；④cos＝cosαcosβ＋sinαsinβ.A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个2．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(D)A．－　B.C．－D.解析：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝，故选D.3．化简sinα－cosα得(D)A．2sinB．2sinC．2cosD．2sin解析：sinα－cosα＝2＝2sin.故选D.4．

6、逆用两角差的正切公式求的值等于(A)9A．tan42°B．tan3°C．1D．tan24°解析：＝＝tan＝tan42°，故选A.5．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)·sinB≥1，则△ABC是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：由已知得sin(A－B＋B)≥1，即sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，∴A＝90°.故选C.1．已知sinα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是第一象限的角，则sinβ等于(A)A.　　　　　　B.C.或D．－2．若函数f(x)＝(1＋ta

7、nx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为(B)A．1B．2C.＋1D.＋2解析：因为f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2cos.故当x＝时，函数取得最大值为2.故选B.3．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是(C)9A．－1B．1C．2D．4解析：∵α＋β＝，∴由tan(α＋β)＝＝1，可得tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，故原式可化为1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋＋tanαtanβ＝2.故选C.4．已知A，B均为钝角，sinA＝，sinB＝，则A＋B的值为(A)A.

8、B.C.D.解析：∵＜A＜π，＜B＜π，∴cosA＝－，cosB＝－.∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝.又∵π＜A＋B＜2π，∴A＋B＝.5．设a＝sin14°＋cos14