几何概型经典练习题

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1、几何概型题目选讲1．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.解析：设AC＝x，由题意知x(12－x)＜32⇒0＜x＜4或8＜x＜12，所求事件的概率P＝＝.2．已知圆C：在圆上任取一点P,设点P到直线的距离小于2的事件为A求P(A)的值。解：P(A)=3．设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，表示的区域D为边长为2的

2、正方形及其内部，所以所求的概率为＝.4．在区间[0,9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为__________．解析：由1≤log2x≤2，得2≤x≤4，根据区间长度关系，得所求概率为.5．在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于__________．解析：函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足Δ＝m2＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，又m∈[－6,9]，故－6≤m≤－4或0≤m≤9，因此所求概率P＝＝.6．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在

3、一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4.作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A)＝＝.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y≥2或y－x≥4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域P(B)＝＝＝

4、.7.知k∈［－2,2］，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于【来【解析】.∵圆的方程化为，∴5k＋k2＋4>0，∴k<－4或k>－1.∵过A(1,1)可以作两条直线与圆相切，∴A(1,1)在圆外，得，∴k<0，故k∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k∈［－2,2］，其区间长度为4，所以P＝.8．已知k∈[－2,2]，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于解析：∵圆的方程化为2＋(y－1)2＝＋＋1，∴5k＋k2＋4>0，∴k<－4或k>－1.∵过A(1,

5、1)可以作两条直线与圆2＋(y－1)2＝＋＋1相切，∴A(1,1)在圆外，得2＋(1－1)2>＋＋1，∴k<0，故k∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k∈[－2,2]，其区间长度为4，∴P＝.9．已知集合A＝{x

6、－3

7、－2

8、－2

9、－3

10、件“x∈A∩B”的概率为P1，这是一个几何概型，则P1＝.(3)因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以，基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．设事件E为“b－a∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，事件E的概率P(E)＝＝.10．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋

11、子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)由题意可知：＝，解得n＝2.(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，

12、共4个．∴P(A)＝＝.②记“x2＋y2>(a－b)