三角函数与解三角形专题讲座

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1、三角函数与解三角形一、角的有关概念1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式

3、α

4、＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad；②1rad＝弧长公式弧长l＝

5、α

6、r扇形面积公式S＝lr＝

7、α

8、r23．象限角与轴线角的表示：（1）象限角的表示：①第一象

9、限角的表示：；②第二象限角的表示：；③第三象限角的表示：；④第四象限角的表示：。（2）象限角的表示：①终边落x轴非负半轴上的角的表示：；②终边落x轴非正半轴上的角的表示：；③终边落x轴上的角的表示：；④终边落y轴非负半轴上的角的表示：；⑤终边落y轴非正半轴上的角的表示：；⑥终边落y轴上的角的表示：；⑦终边落在坐标轴上的角的表示：。二、任意角的三角函数1．单位圆中任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫作α的正弦函数，记作sinα＝yx叫作α的余弦函数，记作cosα＝x叫作α的正切函数，记作tan

10、α＝各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线　注：1．三角函数的定义中，当角α终边上的点P(x，y)是单位圆上的点时，有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，但若角α终边上的点P(x，y)不是单位圆上的点时，图中圆的半径为r=OP=，则sinα＝，cosα＝，tanα＝。2．已知三角函数值的符号确定角的终边位置时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况．3．在解简单的三角方程或三角不等式时，单位圆中的三角函数线是一个很好的工具．2．三角公式（1）．同角三角函数的基本关系①平方关系：sin2α＋

11、cos2α＝1；②商数关系：tanα＝．注：1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．3．弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．4．和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．（2）．三角函数的诱导公式①把α＋2kπ(k∈Z)、πα、－α的三角函数化成α的三角函数时，遵循的原则是“函数名不变，符号看象限”；②把、的三角函数化成α的三角函数时，遵循的原则是“函数名改变，符号看象限”；③一般的把的三角函数化成α的三角函数时，遵循的原则

12、是“奇变偶不变，符号看象限”（3）．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；tan(α±β)＝.（4）．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．tan2α＝.（5）．有关公式的逆用、变形①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．②cos2α＝，sin2α＝.③1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，si

13、nα±cosα＝sin.（6）．函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).注：三角恒等变换的常用方法与技巧1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，角的变换是三角恒等变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝2×，等，这种手法通常叫“配凑”．2．变名：通过变换尽可能减少函数种类、降低次数、减少项数，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有

14、：“常值代换”（如1根据需要可换成、，根据需要可换成或等）、“逆用或变形用公式”、“通分与约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)(k∈Z)递减区间(k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)无对称中心(kπ，0)(k∈Z)(k∈Z)(k∈Z)对称轴x＝kπ＋(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)无最值当时取最大值1当时取最小值-1当时取最大值1当时取最小值-

15、1无4．函数的图象与性质(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意