2014年高考导数压轴题汇编

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1、2014年高考导数压轴题汇编1.[2014·四川卷]已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增

2、，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当

3、a))＝2a－2aln(2a)－b；当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a≥时，g(x)在[0，

4、1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，解得e－2

5、，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)

6、)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a，证明：an＞an＋1＞c.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．(2)方法一：先用数

7、学归纳法证明an>c.①当n＝1时，由题设知a1>c成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c成立．由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*.当n＝k＋1时，＝＋a＝1＋.由ak>c>0得－1<－<<0.由(1)中的结论得＝>1＋p·＝.因此a>c，即ak＋1>c，所以当n＝k＋1时，不等式an>c也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．再由＝1＋可得<1，即an＋1an＋1>c，n∈N*.方法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥c，则xp≥c，所以f′(x)＝＋(1－p)x－p＝

8、>0.由此可得，f(x)在[c，＋∞)上单调递增，因而，当x>c时，f(x)>f(c)＝c.①当n＝1时，由a1>c>0，即a>c可知a2＝a1＋a＝a1c，从而