第二章第4讲函数的奇偶性及周期性

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1、第4讲　函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称　　2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这

2、个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[做一做]1．(2014·高考重庆卷)下列函数为偶函数的是(　　)A．f(x)＝x－1　　　　　　　B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x答案：D2．(2014·高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．解析：函数的周期是2，所以f＝f＝f，根据题意f＝－4×＋2＝1.答案：11．辨明三个易误点(1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域

3、关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，对于偶函数的判断以此类推．2．活用周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.[做一做]3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝，则f(8)的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2解析：选B.由f(x＋4)＝，则T＝8，f(8)＝f(0

4、)＝0.4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)A．－B.C.D．－解析：选B.∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.,[学生用书P21～P23])__函数的周期性________________________　(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝，若f(x)在[－1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是(　　)A．增函数　　　　　　B．减函数C．先增后减的函数D．先减后

5、增的函数(2)(2014·高考安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________．[解析]　(1)由题意知f(x＋2)＝＝f(x)，所以f(x)的周期为2，又函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[0，1]上是增函数，所以f(x)在[2，3]上是增函数．(2)∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴f＝f＝f，f＝f＝f.∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，∴f＝×＝.∵当1

6、函数，∴f＝－f＝－，f＝－f＝.∴f＋f＝－＝.[答案]　(1)A　(2)　若本例(2)中“奇函数”变为“偶函数”，其他条件不变，结果如何？解：∵f＝f＝f＝，f＝f＝f＝sinπ＝－，∴f＋f＝－.[规律方法]　函数周期性的判定判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．　1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈

7、[2，4]时，求f(x)的解析式．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．__判定函数的奇偶性____________________　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝.扫一扫　

8、进入91导学网(www.91daoxue.com)函数奇偶性的判断[解]　(1)原函数的定义域为{x

9、x≠0}，关于原点对