第九讲无穷级数

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1、第九讲无穷级数9.1级数的知识框架9.1.1级数的概念与性质1．＝叫做无穷级数2．＝称为部分和,若称无穷级数收敛3．性质1）收敛到，则收敛到.2）,收敛到,则级数收敛到.3）在级数中去掉,加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.4）如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数(4)仍收敛,且其和不变.5）收敛,则9.1.2数项级数1．正项级数1．任意项级数9.1.3函数项级数1．幂级数2．付氏级数狄利克雷收敛定理要求总体理解概念，重点掌握幂级数9.2例题例1判别下列说法正确与否1）数列与级数同时收敛或同时发散；2）收敛，发散，则发散；3）发散，发散，则发散；4）收敛，收敛，则收敛

2、；5）发散，发散，则发散；6）收敛，则收敛；7）收敛，则收敛；8）收敛，，则收敛；9），收敛，则收敛。解1）错；2）对；3）错；4）错；（5）错；（6）错;(7)错；（8）错；（9）。例2选择题1）设为正项级数，下面结论正确的是（A）若收敛，则，当时，；（B）若发散，则，当时，；（C）若，当时，，则收敛；（D）若，当时，，则发散；解选D（A）反例，，当偶数时当为奇数时；（B）反例，，（C）反例(B)2)设收敛（A）则；（B）又设当时，，则收敛。（C）又设收敛，则收敛。D）设收敛，则收敛。解C（A）反例，（B）见例1（8）；（D）见例1（4）（C），，当时，，3）设收敛，则（A）绝对收敛

3、；（B）条件收敛；（C）发散；（D）不定。解（D）（A）反例，（B）同（A）；（C）反例3)级数收敛，则级数（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性不定。解（C）因收敛，，当时，，当收敛，所以收敛。例3判别下列级数的敛散性(正项级数)1．；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.解（略）（1）注意比较极限形式；（2）会用无穷小等价分析；（3）放大法常用。例4判别级数的敛散性，是绝对收敛还是条件收敛1．解令（），，单增，即单减。又，由莱布尼兹收敛法，原级数收敛。又发散，理由，故原级数收敛。2．解因为由收敛，故原级数绝对收敛。例5（抽象级数的敛散性）（1）已知于上连续，单减

4、，且，记。证明收敛，且其和。分析：，故。即单增，有上界，从而有极限，即原（抽象）级数收敛。（2）若，都收敛，且，证明收敛。证，，而收敛，则收敛，，从而收敛。（3）设收敛，绝对收敛，证明：绝对收敛。证收敛，收敛收敛，有界，即存在，使，，故原级数收敛。（4）若正项数列单调上升且有上界，试证明：级数收敛。证：单调上升，有上界，必有极限，从而有界，存在，使记单增有上界，必有极限，故原级数收敛。（小结：抽象单调有界）9.3关于幂级数9.3.1幂级数的收敛半径于收敛域一、基本内容1．若，则2．于内收敛。（且内闭一致收敛）二、例题例1求的收敛域。解令，对于，，当时，，当时，发散，即时级数收敛。解得或

5、级数收敛。例2求幂级数的收敛域。解，。当时，发散。当时，收敛。则，即是收敛域。例3求的收敛域。解，得，，当时，发散，当，发散，收敛域为例4设在点条件收敛，则该幂级数的收敛半径为___，收敛区间为___________(4,-5

6、例3将展开成得幂级数。解，故说明：1.如例2，例3求导后易于展开，之后积分2.被展函数最多出现的是ln，arctan，这两类函数。3．积分后注意考察。9.3.3函数展开成幂级数一、基本方法1．使用函数展开公式（7个公式应用）2．变换之后使用公式，求导，积分公式可和型变回原型3．和式求导（或积分）于原式结合微分方程，求和二、例题例1求的和函数解记例2求的收敛域及和函数。解当时，级数发散，故收敛域为令则例3求的收敛域及和函数。解易得令，，，解方程得例4求的和解考察，则即为所求。易得收敛半径，而。说明：例1，2，3体现了三种基本方法，例4是一种应用。9.4付氏级数付氏级数基本知识点有两点：函

7、数展开成付氏级数；付氏级数的收敛性。一、函数展开成付氏级数1．定义于上，连续或分段连续。～2．定义于上其中3．定义于上展开成正弦级数，做奇延拓，则展开成余弦级数，做偶延拓，则4．定义于上将展成正弦级数，做奇延拓，则将展成余弦级数，做偶延拓，则一、收敛性讨论以为例二、例题例1将展开成付氏级数。解：则例2将展开成周期为4的余弦函数。解将进行偶延拓则例3设的付氏级数的和函数为，则__________________(0,)解是间断点，以为周期，在点，