强化第六讲：无穷级数与微分方程

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1、强化第六讲：第六单元模拟试卷（B）(D)提示：本题用比较法，想到当时，～令因为，所以级数具有相同的敛散性又调和级数发散，所以也发散至此说明原级数不是绝对收敛，下面再利用莱布尼兹判别法证明原级数是条件收敛的因为，又，所以收敛提示：本题利用比较法因为所以又因为（比值法）所以级数收敛由比较法可知收敛提示：所以当（发散）当（收敛）所以收敛区间为提示：此题要把变成才可以注：在此有公式…所以接下来利用公式注：书上有些公式是从0开始的，做相应变化即可提示：本题是齐次微分方程，先把原方程变形为令，代入原方程得回

2、代得，提示：原方程的特征方程为，解得则通解为代入得，即又，代入得1提示：原方程对应的齐次方程为其特征方程为，解得则齐次方程的通解为又原方程即为所以原方程的特解一般形式为代入原方程得即由待定系数法可得所以原方程的特解为综上则原方程的通解为提示：本题是将原方程转化为微分方程去求解先对原方程两边关于求一阶导数得再求二阶导数得，令，这样我们就得到了一个二阶常系数非齐次线性微分方程该方程所对应的齐次微微分方程的特征方程为解得，所以对应齐次微分方程的通解为又非齐次微分方程特解的一般形式为，代入非齐次方程得，

3、即所以非齐次微分方程的通解为又因为，所以，即又因为，且，所以即四．证明题（每小题7分，共14分）21.设和都收敛。证明（1）收敛。（2）收敛提示：本题用比较法证明级数收敛（1）因为，所以又和都收敛，所以收敛则由比较法可知收敛（2）由（1）结论可知是绝对收敛的，所以收敛又，显然可以很容易证明收敛22.设与是方程的两个不同的解，证明：为的解。提示：将与分别代入方程中，得到两个方程，然后两个方程相减，即可证得结论成立！五．综合题（每小题8分，共24分）23.将展开成的幂级数，并求其收敛区间。提示：本题

4、利用间接法解题，即求函数的导数的幂级数，然后再不定积分回归到原函数因为，又，所以，两边求不定积分得，即，需要注意的是：当时也是收敛的，所以收敛区间是一个闭区间答：24．设其中在满足且（1）求所满足的微分方程。（2）求的表达式。本题题目条件有误，不是，而是提示：因为，又所以又，所以代入以上结论得所满足的微分方程这是一个一阶线性非齐次微分方程其中，，则利用公式可得代入条件得，所以答：25．设的和函数，求（1）所满足的微分方程。（2）的表达式提示：由已知可得所以观察上述结果会发现有这也是一个一阶线性非

5、齐次微分方程，可以用24题的解法去求解但它又是一个可以分离变量的微分方程，即有又已知条件中隐藏了这个条件，代入得，所以答：（1）（2）