第五讲 无穷级数.doc

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1、第五讲无穷级数§1概念及其性质无穷级数（简称级数）：，称为第项式通项一般项。为的前项和。定义：若（有限数），则称级数收敛，为其和，即；若不存在，则称级数发散。例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。（1）；（2）；（3）；提示：将通项写成两项差的形式，即。解：（1）；发散。（2）；。（3）。性质：①设为常数，则与具有相同的敛散性；②设，，则；设收敛，发散，则发散；设与均发散，则具体分析。③去掉或添加有限项不影响其敛散性，但收敛时其和可能要改变；④设收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛

2、于原级数的和；设有一个，若对各项加括号后所得新级数发散，则原级数发散；若对其各项任意加括号后收敛，则原级数敛散性要具体分析。⑤级数收敛的必要条件：。必要条件的应用：⑴判别发散；例如：，，发散。⑵求特殊极限：例2：求极限：解：构造一个数项级数：；收敛，故=0。§2数项级数一．正项级数：（）的判别法：⑴正项级数的比较判别法：一般形式，设为常数，，若收敛，则收敛；若发散，则发散；简言之，小于收敛的一定收敛，大于发散的一定发散。极限形式：设，均为正项级数，若：ⅰ）当时，收敛收敛；ⅱ）当时，发散发散；由以

3、上可以得到简洁的判别法：①当，，则与有相同的敛散性；例如：当时，；收敛，所以收敛。②设的分母，分子关于的最高次数分别为：若，则收敛；若，则发散。例如：发散，。常用比较的级数：ⅰ）几何级数：；ⅱ）级数：当时，收敛；当时，发散。⑵比值判别法：设为正项级数，适用于中含有的阶乘或关于的连乘积的形式。⑶根值判别法：设为正项级数，适用于中含有以为指数幂的因子。若中既含有又含有以为指数幂的因子，则用比值判别法。例3：判别下列级数的敛散性。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）；收敛。（2）当时，；收

4、敛，收敛。（3）当，不，发散；当时，，收敛，收敛；当时，，发散；（4）收敛，收敛；（5），故收敛；复习：当时，的速度越来越快。一．交错级数：莱布尼兹准则：设有一个交错级数，若满足条件：⑴；⑵；则交错级数收敛，其和，其向余和的绝对值例4：判别的敛散性；解：当时，；当充分大时，，故：，由莱布尼茨准则，级数收敛。一．任意项级数（可正，可负，可0）：定义：若收敛，则称为绝对收敛级数；若发散，而收敛，则称为条件收敛；：设收敛，则必收敛；：设条件收敛，则由该级数的所有正项和所有负项构成的两个级数发散；注意：

5、若用比值法或根值法判别发散，则一定发散。常用的条件收敛级数为：。例5：设的常数，收敛，则是[]：（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与有关解：与收敛，收敛，故绝对收敛。例6：判别的敛散性。解：；当时，不，所以发散；当时，：ⅰ）当时，绝对收敛；ⅱ）当时，条件收敛。§3幂级数一．函数项级数：ⅰ），为函数项级数；①当时，数项级数收敛（或发散），则称为的收敛点（或发散点）；②的收敛点（或发散点）的集合称为得收敛域（或发散域）；③称为函数项级数的前项和；④若，则称为的和函数。ⅱ）函数项级数收

6、敛域的求法：①用比值法：或；②令得出收敛区间，设为；③令，原函数项级数；令，原函数项级数。例7：求下列函数的收敛域（1）（2）解：（1），令：令，原级数，发散；令，原级数，收敛。收敛域为：。（2）当时，收敛；当时，发散；当时，，收敛。故收敛域为：及一．幂级数——①——②①与②均称为幂级数。：（阿贝尔）设在处收敛，则对于一切满足不等式的，绝对收敛；若在处发散，则对于满足不等式的一切，发散。定义：设级数在内收敛，在外发散，处的敛散性不予考虑，则称为级数的收敛半径，记为：。：（阿贝尔）设有幂级数，则幂

7、级数的收敛半径。例8：设在处收敛，则在处，是[]：(A)发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不定分析：由题意可知，收敛域，所以选C。例9：设，则的收敛半径为：[]；解：原级数，所以：；例10：求下列级数的收敛域，收敛半径。（1）；（2）；（3）解：（1）令：，收敛区间为：；令：，原级数，发散；令：，原级数，发散；所以收敛域为：，。（2）令：收敛区间为：；令：，原级数，收敛；令：，原级数，发散；故，收敛域为：，。（3）分母中含有阶乘，分子中不含有，收敛域为：，。一．幂级数的分析性质：设的收

8、敛半径为，则：⑴的和函数在收敛区间内连续；⑵在内可逐项微分，即：；⑶在内可逐项积分，即：；二．台劳级数设函数在的邻域内有任意阶导数，则称为阶台劳系数。：（台劳）设函数在的邻域内有任意阶导数，则台劳级数收敛于，其中，。常见的七个函数的台劳展式：①，收敛域为：；②，；③，；④；⑤；⑥；⑦收敛域随的不同而不同，但总在内有意义，收敛。§4将给定的函数展成幂级数方法1：（直接法）方法2：（间接法）例11：将下列函数在指定点处展成幂级数（1），在处；（2），在处；（3），在处；解：（1）；，收敛域为：；；，