2014年高考数学文科（高考真题+模拟新题）分类汇编：H单元　解析几何

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1、数学H单元　解析几何H1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程6．，，[2014·福建卷]已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)A．x＋y－2＝0B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝06．D　[解析]由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点

2、．(1)求M的轨迹方程；(2)当

3、OP

4、＝

5、OM

6、时，求l的方程及△POM的面积．20．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于

7、OP

8、＝

9、OM

10、，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以直线l的

11、斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.又

12、OM

13、＝

14、OP

15、＝2，O到直线l的距离为，故

16、PM

17、＝，所以△POM的面积为.21．、、、[2014·重庆卷]如图15，设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．图1521．解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.由＝2　得

18、DF1

19、＝＝c.从而S△DF1F2

20、＝

21、DF1

22、

23、F1F2

24、＝c2＝，故c＝1.从而

25、DF1

26、＝.由DF1⊥F1F2得

27、DF2

28、2＝

29、DF1

30、2＋

31、F1F2

32、2＝，因此

33、DF2

34、＝，所以2a＝

35、DF1

36、＋

37、DF2

38、＝2　，故a＝，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P

39、1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得·＝－1.而y1＝

40、x1＋1

41、＝，故y0＝.圆C的半径

42、CP1

43、＝＝.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2＋＝.H2　两直线的位置关系与点到直线的距离6．，，[2014·福建卷]已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)A．x＋y－2＝0B．x－y＝2

44、＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝06．D　[解析]由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.18．、、、[2014·江苏卷]如图16所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.(1)求新桥B

45、C的长．(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？图1618．解：方法一：(1)如图所示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170，0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB＝.设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝＝－，kAB＝＝，解得a＝80,b＝120，所以BC＝＝150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm