专题04 函数值域（最值）的求法（判别式法等）

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1、第04讲：函数值域（最值）的求法（判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）【考纲要求】1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的值域。2、理解函数的最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域。二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为R.6、幂函数的值域为R，幂函数的值域为。7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值[来源:Z。xx。k.Com]域为R，余切函数的值域为R.四、求函数的值域

2、常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。六、函数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值。【方法讲评】方法六判别式法16使用情景形如的函数。解题步骤一般先将函数化成方程，再利用判别式来求函数的值域。例1求函数的值域。即此时方程有实根即△,△当时，方程化为7=0，显然不能成立，所以[来源:学科网]将分别代入检验得不符合方程，所以。方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值。解题步骤一般先进行配凑，再利用

3、基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域。例2已知，求函数的最小值。16解：。=当且仅当，即时，上式等号成立。因为在定义域内，所以最小值为1。例11已知，求函数的最大值。【变式演练2】求函数的最小值。【变式演练3】某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。　　方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断。解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域。例3求函数的值域。解：

4、16【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域。例4求函数的值域。【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域。（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数。（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性。【变式演练4】求函数的值域。【变式演练5】已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。例5求函数的值域：解：函数的图像如图所示：16函数的值域为：.【点评】（1）对于一些可以较快

5、作出函数的图像的函数，可以直接作出函数的图像，再观察函数的值域。（2）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图。例6如果函数定义在区间上，求的最小值。如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，图3【点评】二次函数在闭区间上的最值问题，是一种较典型的问题。如果对称轴和区间的位置关系不能确定，常利用分类讨论和数形结合分析解答。例7求函数的值域.解：将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,设直线的方程为因为直线和圆相切，所以16所以函数的值域为:【点评】（1）对于某

6、些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域。先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域。（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答。例8求函数的值域。【点评】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累。这样才能提高解题的效率。[来源:学科网ZXXK]例9某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位

7、的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？【解析】：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。可行域为12x+8y≥646x+6y≥426x+10y≥54x≥0，x∈Ny≥0，y∈N即3x+2y≥16x+y≥73x+5y≥27x≥0，x∈N16y≥0，y∈N作出可行域如图所示：经试验发现，当x=4