《分形几何简介》PPT课件

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1、分形几何简介浙江大学数学系姜海益报告内容分形几何的发展历史分形几何的研究对象和研究方法分形几何的应用分形几何产生的背景经典几何的研究对象:规则的图形，如圆，三角形等．问题：对于不规则的图形：如海岸线，云的边界，我们如何研究？如何用计算机去生成？下面我们再介绍一些传统方法难以处理的一些问题．微积分中的一个问题如何研究在闭区间上处处连续处处不可导的函数：如Weierstrass函数？一类Weierstrass函数的具体表达式其中1

2、观察到英国海岸线与VanKoch曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科---分形(Fractal).迭代（动力系统）的问题Martin过程(一)a=68,b=75,c=83Martin过程(二)a=-200,b=-4,c=-80Martin过程(三)a=-536,b=102,c=67Julia集(一)Julia集(二)C=-1Julia集(三)C=-0.5+0.5iJulia集(四)C=-0.2+0.75iJulia集(四)C=0.64iMandelbrot集Mandelbrot集分形几何的历史萌芽期：十九世纪末，二十世纪初.Cantor集，Weierstrass函数等

3、的提出.形成期：二十世纪六、七十年代.Mandelbrot的大量工作.1.1967年，Science,英国的海岸线有多长？2.1975年，《分形对象：形，机遇和维数》.分形(fractal)这个词源于这本书.它是从意思是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生出来的.英国的海岸线有多长?测量方法：我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过，设这样测得的海岸线长度为L().然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。用一只小老鼠代替人测量。用苍蝇代替小老鼠测量。测量结论：随着步长越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。英国的海岸

4、线有多长(续)?Richardson的经验数据L()与成正比，其中的值依赖于具体的海岸线。而且对同一海岸线，对不同的区段，常常得到不同的。在Richardson看来，没有什么特别意义。Mandelbrot的贡献把的意义挖掘出来，将1+=D解释为“分形维数”。分形几何的历史(续)发展期：二十世纪八十年代至今.1.Hutchinson,1981,分形与自相似.给出了自相似集合的数学理论基础.2.Mandelbrot,1982,《自然界的分形几何》.3.Barnsley,1988,《Fractaleverywhere》.4.Falconer,1990,《分形几何——数学

5、基础及其应用》.分形几何的研究对象（一）—自相似集1Cantor集2Sierpinski垫片3Koch曲线Cantor集CCantor集C的一些基本性质1.Cantor集是自相似的.2.Cantor集有“精细结构”.3.Cantor集的定义简单明了.4.Cantor集是由一个迭代过程得到的.5.Cantor集的几何性质难以用传统的语言来描述.6.Cantor集的长度等于0，但是点的个数是不可数的.Sierpinsk垫片Sierpinsk垫片的生成过程—第1步Sierpinsk垫片的生成过程—第2步Sierpinsk垫片的生成过程—第3步Sierpinsk垫片的生成过程—第4步Si

6、erpinski垫片S的一些基本性质与Cantor集类似。面积等于0.Koch曲线Koch曲线的生成过程—第1步Koch曲线的生成过程—第2步Koch曲线的生成过程—第3步Koch曲线的生成过程—第4步Koch曲线与雪花曲线—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线Koch曲线的一些基本性质Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫片类似的性质：长度等于无穷.自相似集合的定义相似压缩映射的定义：设f是从Rn到Rn的映射，如果存在常数1>c>0,使得对于Rn中的任意两点x,y,有

7、f(x)-f(y)

8、=c

9、x-y

10、,我们称f是一个Rn上的相似映射，相似比为c.关于

11、自相似集合的定理及定义：设f1,f2,…,fm是一组Rn上的相似压缩映射，则一定存在Rn的一个子集E，使得E=∪fi(E).我们称集合E是一个自相似集合.分形几何的研究对象（二）自仿射集（每个映射都是压缩的仿射映射）。迭代函数系统的不变集（每个映射都是压缩映射）。分形函数（如：Weierstrass函数）。随机分形（如：随机Koch曲线）。随机Koch曲线——对海岸线的模拟分形集合的基本特征我们很难给出分形的定义，但我们认为一个分形集合E应该有如下的特征：E具有精细的结构，即有任