面面垂直的判定定理

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1、平面与平面垂直的判定定理复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。异面直线所成的角与直线和平面所成的角,它们的共同特征都是将三维空间的角转

2、化为二维空间的角,即平面角。拦洪坝水平面一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。二面角由半平面--线--半平面构成。lABPQ二面角的表示l二面角－l－二面角C－AB－DABCD二面角的画法CEFDAB角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a从一条直线

3、出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—或二面角—AB—图形以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的度量l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:l二面角的平面角的作法：1、定义法3、垂面法2、三垂线定理法练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--AADBCl二面角--l--OEOO二面角A

4、--BC--DDAOD例1已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD则由三垂线定理得AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，AOAD①②③l二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”你发现了什么？观察生活注

5、意观察：1.门轴与地面的关系2.门轴与门面的关系3.门面与地面的关系ι线线垂直线面垂直面面垂直如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.αβAB简记：线面垂直，则面面垂直符号:AB⊥α,β经过AB,则α⊥β证明两个平面垂直有那些方法？1.定义法2.两平面垂直的判定定理二、两个平面垂直的判定定理:建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？应用于生活例2如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证;平面PAC⊥平面PBCPABCO河堤斜面练习:小结一、二面角的定义二、二面角的

6、表示方法三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算六、面面垂直的判定定理练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBClO∠OAC＝120AO=BD=1,AC=2四边形ABDO为矩形,DO=AB=3练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl∵BD⊥l∴AO∥BD，

7、∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l，AO=BD∵AC⊥l，AO⊥l，∴l⊥平面CAO∴AO⊥l∴CO⊥DOO在Rt△COD中，DO=AB=3E解：在平面内，过A作AO⊥l，使AO=BD,连结CO、DO,则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即∠OAC＝120，∵BD=1∴AO=1，在△OAC中，AC=2，∴如果:AB⊥β,α经过AB,那么:α⊥β证明：∵AB⊥β,CD是交线∴AB⊥CD在平面β内过点B作直线BE⊥CD∴∠ABE是二面角α—CD—β的平面角∵AB⊥βBE在β内∴AB⊥BE即∠ABE=90。∴二面角α—CD—β是直二面角

8、∴α⊥β如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.ABEDCβα