随机变量与概率分布

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1、第六章随机变量与概率分布6.1随机变量6.2概率分布及其种类6.3随机变量的期望、方差与矩6.4重要的离散型概率分布6.1随机变量例抛掷一枚硬币，结果有两种：“正面向上”和“反面向上”．为了将随机试验的结果量化表示，可令“”表示正面向上，其出现的概率为；“”表示反面向上，其出现的概率为．则就是个随机变量．上面例子中的具有下列特征：（1）取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值；（2）所取的每一个值，都对应于某一随机现象：（3）所取的每个值的概率是确定的．随机变量的取值由随机试验的结果而定，因此随机变量不是自变量，而是函数，其自变量是随机事件．按随机变量取值情况可将其分为两类：

2、（1）离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值;（2）连续型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分取值取某实数区间的全部值．离散型随机变量：所谓离散型随机变量，简单的说就是变量的取值只能用整数来进行表示的随机变量,例：1）某家电专营公司在12月1日销售出去的洗衣机数量，X=0，1，2……2）一个车间有15台车床，在某一时刻t内，可能发生故障的车床数量为X=0，1，2….连续型随机变量：随机变量在某个区间取值，或其取值只能在某一个区间进行反映，这样的随机变量称之为连续型随机变量。例：1）一只灯泡的寿命T=（0，∞）。2）钢板的抗压强度R=(15T/㎡,22T/㎡)6.

3、2概率分布及其种类6.2.1概率分布：随机变量的取值带有不确定性，要想完整的对随机变量的特征进行描述，必须与概率的讨论联系起来。就像我们曾经学习过的频数分布表编制，概率分布的研究也具有相似的道理。由变量值及其发生概率组成的统计数列，称作概率分布一、离散型随机变量及其分布1．分布列定义6.7若随机变量可在无穷可列个点上取值，取这些值的概率依为则称为可列点分布．即上式为离散型随机变量的概率分布，简称分布列．及其分布列也可用表格形式表示：满足如下性质：性质1性质2．例产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二三等品率和废品率分别为60%、10%、20%、10%，任取一个产品检验其质

4、量，用随机变量描述结果．解令“”与产品为“等品”（）相对应，“”与产品“废品”相对应．是一个随机变量，它可以取0、1、2、3这4个可能值．其概率分布表为：例用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况．解令表示掷一颗骰子出现的点数，则的分布列为：概率分布表为：二、连续型随机变量及其分布连续型随机变量的取值不能象离散型随机变量取值那样一一列举出来。例如，设车床加工某种零件的尺寸为，加工出来的零件尺寸是一个随机变量，它的取值充满了区间[19.5,20.5]，不能一一列举出来。它是一个连续型随机变量，无法列出它的分布列，因此我们只能考虑其位于某一区间的概率。人们发现，连续型随机变量位于任

5、一区间[a,b]上的概率可用某一函数f(x)在区间[a,b]上的定积分来计算。并且把函数f(x)叫做随机变量的概率分布密度。定义：对于随机变量，如果存在非负函数f(x)，使在任意区间[a,b]上的概率为则称为连续型随机变量，称f(x)为的概率分布密度y=f(x)oab密度函数有性质:连续型随机变量的分布函数为：密度函数的几何意义为密度函数的性质(1)非负性f(x)0，(-

6、：设公共汽车每隔15分钟一班，乘客到站时间是随机的，而等车时间的概率分布密度为求乘客等车时间不超过5分钟的概率。解：算例：试说明：f(x)=0-1＜x＜2X>2,x<-1为概率密度函数6.3随机变量的期望、方差及矩期望就是变量这与其发生概率的加权算术平均数。若X为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为X的函数则Y的期望为1.离散型随机变量函数的数学期望随机变量的数学期望2.连续型随机变量函数的数学期望若X是连续型的,它的分布密度为p(x)则解例1求:例：随机变量X的概率分布为：X:0123P:试求：E((x+1)²)小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般

7、的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质6.3.2方差方差是随机变量与其期望离差平方的数学期望。方差的基本计算公式为：Var(x)=E((x-E(x))²)对于离散型随机变量：对于连续型随机变量：描述随机变量的取值与期望的偏离程度．Def.称为随机变量的方差称为的标准差（standarddeviation）方差性质：（1）c为任一常数，则var(c)=0(2)a,b为常数，X=aX′+b,则：Var（X）=a²Var(X′)(3)随机变量X，Y相互独立，则：Var（X+Y）