量纲分析和相似理论

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1、第四章相似理论与量纲分析流体力学的研究方法主要有三种：理论分析、实验研究、数值模拟其中，流体力学实验是发展流体力学理论，验证流体力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学工程问题的一个重要手段。本章将探讨流体力学实验的基础理论：相似理论量纲分析第一节有因次量和无因次量一、因次的概念因次又称量纲，它指的是物理量的物理属性，或者说是指具有相同物理意义的物理量的类别。以小时、分、秒为例，它们是测量时间的不同单位，但这些单位都是用来测量时间的，都属于时间的类别。因次的符号一般用方括号内英文字母等来表示，如质量的因次［Ｍ］、长度的因次［Ｌ］、时间的因次［Ｔ］、压力的因次［ML

2、－1T－2］和温度的因次［Θ］等等。在国际单位制中，取长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量和发光强度这七个物理量作为“基本量”。第一节有因次量和无因次量这七个基本量的因次相应地用［Ｌ］、［Ｍ］、［Ｔ］、［Ｅ］、［Θ］、［Ｎ］、［Ｃ］来表示，称为基本因次。其它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程推导出来的，称为“导来因次”。如速度的因次［LT－1］是根据运动方程u=dl/dτ用长度的因次［Ｌ］和时间的因次［Ｔ］推导而来的，是导来因次。在流体力学中，常用的基本因次为：长度［Ｌ］、质量［Ｍ］、时间［Ｔ］、温度［Θ］等；常用的导来因次列于表4-1中。

3、在因次运算过程中，在不致于引起混淆的情况下可将因次外的方括号省略，否则必须加上方括号。第一节有因次量和无因次量二、有因次量和有因次方程具有因次的物理量称为有因次量。如速度u、压力p和密度ρ等物理量都是有因次量。用加(＋)、减(－)、等号(＝)等运算符号把描述现象的各有因次参量联系在一起组成的方程，称为有因次方程。对有因次方程而言，各项的因次必须是相同的，否则将不能保持因次的和谐性。如水静力学基本方程各项的因次都必须是［ML－1T－2］。第一节有因次量和无因次量再如伯努利方程各项的因次都必须是［Ｌ］。由此可给出因次分析的一个重要原理，即因次和谐原理：“凡正确的物理方

4、程，其中各项的因次都必须相同，这是完整物理方程所必然具有的特征”。有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依变关系，给人以直观感。第一节有因次量和无因次量三、无因次量和无因次方程以某一有因次量作为参考尺度，其它具有相同因次的量都用该尺度所度量，得出的失去了因次的量称为无因次量。如管道的无因次长度l/d；无因次坐标r/R；管内流动的无因次速度u/umax等。参考尺度可选取固定量，也可选取有规律的变量。如马赫数M=u/a，其中为当地音速，它是个有规律的变量。用加(＋)、减(－)、等号(＝)等运算符号将描述现象的无因次量联系起来组成的方程,称为无因次方程。一般地

5、，无因次方程比有因次方程更能体现同类现象或物理过程的一般规律。第一节有因次量和无因次量如管内层流的无因次速度(u/umax)与无因次坐标(r/R)之间的函数关系式为可压缩流体按等熵过程膨胀加速时,无因次速度(u/umax)与无因次压力(p/p0)之间的函数关系式为式中umax为可压缩流体的极限速度，p0为可压缩流体的滞止压力。第一节有因次量和无因次量四、准数和准数方程无因次量可以是两个简单的同类量之间的比值关系，也可以把一些具有一定物理含义和相同因次的复合数群相比，得出新的无因次值，这个无因次值就称为准数或称准则数，也有人称作特征数。简单地说，准数就是“由某些有关

6、的物理量所组成的无因次复合数群”。即它是一个复杂的无因次量。例如，与流体质点运动相关的有四种力：惯性力、粘性力、重力和压力。研究流体流动时，常常将它们进行无因次化(准数化)，推导过程如下：第一节有因次量和无因次量当流体在流动过程中，粘性力起主导作用时，将惯性力与粘性力相比，得Re称为雷诺准数。它体现了流体运动过程中惯性力与粘性力之间的比值关系。第一节有因次量和无因次量当流体在流动过程中，压力起主导作用时，如管内有压流动，将压力与惯性力相比，得Eu称为欧拉准数。它体现了流体在运动过程中压力与惯性力之间的比值关系。当流体在流动过程中，重力起主导作用时，如液体在明渠内的

7、流动，将流体的惯性力与重力相比，得第一节有因次量和无因次量Fr称为付鲁德准数。它体现了运动流体的惯性力与重力之间的比值关系。再如，当研究液体薄膜或液体薄膜的破碎问题时，表面张力起主导作用。将液体的惯性力与表面张力相比，得We称为伟伯准数。它体现了液体的惯性力与表面张力之间的比值关系。又如，可压缩流体在运动过程中，弹性力起主导作用，可将惯性力与弹性力相比，(弹性力)得第一节有因次量和无因次量M称为马赫准数。它体现了可压缩流体在运动过程中惯性力与弹性力之间的比值关系。以后将证明，准数相等是两现象相似的必要条件。由准数所组成的方程式称为准数方程。如Eu=f(Re，Fr)

8、上式体现了