相似理论与量纲分析

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1、第九章相似理论与量纲分析流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。本章将探讨其理论基础：相似理论量纲分析§9.1相似理论基础为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个流动的对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系。具体来说，两相似流动应几何相似、运动相似、动力相似。两流动相似应满足的条件一几何相似（空间相似）定义：两流动流场的几何形状相似,即两流动的对应长度成比例，对应角度相等。引入尺度比例系数进而，面积比例系数体积比例系数模型流动用下标m表示原型流动用下标p表

2、示二运动相似（时间相似）定义：两流动的速度场相似,即两个流动的对应时刻对应点的速度方向相同,大小成比例。引入速度比例系数由于因此运动相似需要建立在几何相似基础上.因此运动相似只需确定时间比例系数就可以了。故运动相似也就被称之为时间相似。运动学物理量的比例系数都可以表示为长度比尺和时间比尺的不同组合形式。如：的单位是m2/sQ的单位是m3/t三动力相似（受力相似）定义：两流动的对应点上质点所受F的方向相同,大小成比例。引入力比例系数也可写成力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比尺的不同组合形式，如：力矩M压强p功率N动力粘度综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时

3、空相似的条件下受力相似。动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。三种相似之间的联系：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据;动力相似是决定两个流动相似的主导因素;运动相似是几何相似和动力相似的表现。§9.2相似准则相似准则:几何比尺、运动比尺和动力比尺之间由力学基本定律规定了的一定的约束关系。一、牛顿相似准则两流动动力相似要求对应点处液体质点所受各种力大小成比例。粘性力、重力、动水压力等是企图改变流体运动状态的力；而惯性力是企图维持液体运动状态的力，液体流动的变化是惯性力和其它各种力

4、相互作用的结果。惯性力则惯性力之比：另一企图改变流体运动状态的力为F，其比尺为CF。由动力相似有如下关系：CF=CI即：式中：是一个无量纲数因此，两个流动相似的重要标志是它们的牛顿准则数相等：即二、雷诺准则对于有压流动，粘性力是主要作用力。粘性力比尺要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即即雷诺数的物理意义雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：三、佛汝德准则对于具有自由表面的流动，重力是主要的作用力。重力比尺要满足重力相似，必须满足CG=CI，即即佛汝德数的物理意义佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：四、欧拉准则作用在两流动对应点上的动水总压力之比为：要满足动水总压力相似，必须

5、满足CP=CI，即即欧拉数的物理意义欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：通常，对流动起作用的是液流中两点压强差△p，而不是某点的压强p。故欧拉数常写为：注意：压力场的相似不是两个流动相似的原因，而是两个流动相似的结果。Eu准则不是独立的。只要主要的相似准则（Re或Fr)得到满足，则该准则必定满足。综上所述，动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等。§9.3模型实验什么是模型实验：通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，

6、模型实验才是有价值的。为什么要进行模型实验•科学研究和生产设计需要做模型实验；•并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数值模拟的流动现象都不必模拟实验。•并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。一、相似准则的选择为了使两流动完全相似，在满足几何相似的前提下，各独立的相似准则应同时得到满足。这在实际实验中往往很难实现，甚至是不可能的。例如：欲在某实验中实现雷诺准则和佛汝德准则的同时满足：即要实现流动相似应满足两个条件（1）模型流速原比型流速缩小倍；（2）模型流体的

7、粘度应比原型粘度缩小倍，这很难实现。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是起主要作用的力相似——近似相似。例如：有压管流——粘性力起主要作用——雷诺准则明渠流动——重力起主要作用——佛汝德准则二、模型的设计1、首先根据实验场地和模型制作的条件定出长度比尺Cl;2、根据选定的长度比尺Cl确定出模型流动的几何边界；3、根据所选用的相似准则确定速度比尺和流量比尺，从而定出模型流动的流量。例1有一轿车，高hp=1.5m，在公路上行