《数学建模基础案例》PPT课件

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1、1高等数学建模案例1.1一元函数微积分在数学建模中的应用案例一反复学习及效率案例二最短路径问题1.2多元函数微积分在数学建模中的应用案例一竞争性产品生产中的利润最大化1.3微分方程在数学建模中的应用案例一“饮酒驾车”问题案例1反复学习及效率问题背景心理学研究指出，任何一种新技能的获得和提高都要通过一定时间的学习。在学习中，常常会碰到这样的现象，这个学生学得快，掌握得深，而哪个学生学得差，掌握得浅。以学习电脑为例，假设每学习电脑一次，能掌握一定的新内容，其程度为常数A(0

2、识，其掌握的程度应该是接近于1的时候。那么，关键是如何确定经过n次后，掌握电脑知识程度的函数表达式，从而确定n。模型假设模型建立模型求解由上式模型得可以看出，当学习次数n增大时，随之增大，且越来越接近于1（100%），但不会达到100%。这就说明了一个道理：熟能生巧，学无止境！模型解释及应用不妨假设在学习过程中，掌握95%以上的学习内容就算基本掌握。根据以上模型来计算至少需要学习多少次？一般情况下，=0,即开始学习时，对电脑一无所知，如果每次学习掌握程度为30%,逐个代入数据，如表2-1所示。n12345678910bn0.30.510.660.760.830.8

3、80.920.940.960.97表2-1学习次数与掌握程度关系表随着学习的进行，掌握速度越来越慢，这也是学习的道理，入门容易，深入钻研难！案例2最短路径问题设某一物体在平面上运动，当它由上平面A(x1,y1)运动到下平面B(x2,y2)(y1>0,y2<0)时，问此物体应沿什么路径运动，才能使其花费的时间最短？问题yoA(x1,y1)pB(x2,y2)x问题分析：显然该物体在上平面和下平面都做直线运动，并且上下平面的两条运动直线在同一条直线上时，花费时间最短。简单情形模型假设假设1把这一物体视为质点；假设2考虑最简单的情形，假设该质点在上下两个平面都沿直线运动，

4、并且运动速度恒定。模型建立当AP，BP在一条直线上时，模型的值最小。因此，直线段APB就是最节省时间的路径。模型求解光的折射定理模型假设1把这一物体视为质点；假设2假设该质点在上平面运动速度为v1,在下平面为v2。假设3该质点在上下平面都沿直线运动。模型假设oMN模型建立现在问题转化为假定物体沿折线ApB运动其所用时间最省，求p点的坐标。模型求解确定x满足什么条件时，上式模型取得最小值。入射角正弦与折射角正弦之比等于光在两种介质中的速度之比！1.2多元函数微积分在数学建模中的应用案例一竞争性产品生产中的利润最大化一家制造计算机的公司计划生产两种产品：一种使用27英

5、寸显示器的计算机，而另一种使用31英寸显示器的计算机。除了400000美元的固定费用外，每台27英寸显示器的计算机成本为1950美元，而31英寸的计算机成本为2250美元。制造商建议每台27英寸显示器的零售价格为3390美元，而31英寸的零售价格为3990美元。营销人员估计，在销售这些计算机的竞争市场上，一种类型的计算机每多卖出一台，它的价格就下降0.1美元。此外，一种类型的计算机的销售也会影响另一种类型计算机的销售：每销售一台31英寸显示器的计算机估计27英寸显示器的零售价格下降0.03美元；每销售一台27英寸显示器的计算机，估计31英寸显示器的计算机零售价格下

6、降0.04美元。那么该公司应该生产每种计算机多少台，才能使利润最大？问题分析利润=销售收入-成本-固定费用27寸销售收入31寸销售收入31寸生产成本27寸生产成本27寸销售数量与市场价格31寸生产数量27寸生产数量31寸销售数量与市场价格关键：确定两种产品的生产数量、销售数量以及市场价格。模型假设假设制造的所有计算机都可以售出。符号说明模型建立27英寸显示器计算机的零售价：31英寸显示器计算机的零售价：计算机的零售收入与制造成本分别为：计算机的零售利润函数为：模型求解解方程得则L(4736,7043)=9136410.25美元公司应制造27英寸与31英寸的计算机

7、数分别为4763台与7043台，才能使得利润最大9136419,。25美元。据报载，2003年我国全国道路交通事故死亡人数104372人，其中因饮酒驾车造成事故的占有相当的比例。针对这种情况，国家质量检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL小于80mg/100mL为饮酒驾车，血液中酒精的含量大于或等于80mg/100mL为醉酒驾车。1.3微分方程在数学建模中的应用案例一“饮酒驾车”问题现有一起交通事故，在事故发生3小时后，测得司机血液中酒精含

8、量是56m