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1、第六讲多项式 和数据分析本讲教学目标掌握多项式表达和创建方法掌握多项式的运算掌握多项式的拟合和插值了解常用的数据分析的方法了解傅里叶变换和应用6.1多项式多项式在数学中有着极为重要的作用，同时多项式的运算也是工程和应用中经常遇到的问题。MATLAB提供了一些专门用于处理多项式的函数，用户可以应用这些函数对多项式进行操作。MATLAB中对多项式的操作包括多项式求根、多项式的四则运算及多项式的微积分。6.1.1多项式的表示在MATLAB中多项式用一个行向量表示，向量中的元素为该多项式的系数，按降序排列。即用行向量p
2、=[anan-1……a1a0]表示f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0函数y=poly2str(p,‘x’)——将多项式显示为一般形式，即期数学形式。即y=anx^n+an-1x^n-1+……+a06.1.2多项式的创建1)直接用行向量创建P=[1,3,4,5,6,7]%创建一个5阶多项式2)利用函数ploy创建已知多项式的全部根，可用函数ploy建立多项式；也可用函数ploy求矩阵的特征多项式。PPA=x^3-15x^2-24x+360例：生成特征多项式M=magic(3);PM=poly(M);
3、%A的特征多项式PPM=poly2str(PM,'x')6.1.3多项式的四则运算由于多项式是利用向量来表示，多项式的四则运算可以转化为向量的运算。(1)多项式加、减对于次数相同的若干个多项式，可直接对多项式系数向量进行加、减的运算。如果多项式的次数不同，则应该把低次的多项式系数不足的高次项用零补足，使同式中的各多项式具有相同的次数。(2)多项式乘多项式的乘法实际上是多项式系数向量之间的卷积运算。命令格式为：C=conv(A,B)(3)多项式除多项式的除法为乘法的逆运算，命令格式为：[Q,r]=deconv(A
4、,B)。deconv是conv的逆函数，即有A=conv(B,Q)+r。例1：a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c(x)=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)>>a=[123];b=[456];>>c=conv(a,b)c=4.0013.0028.0027.0018.00>>p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+18>>d=deconv(c,a)d=4.005.006.006.1.4多项式的其他运算函数roots(A)——求多项式的根。A是多项式的
5、系数。例2:>>a=[1-1177];>>r=roots(a)r=10.25051.2821-0.5326>>p=poly(r)p=1.0000-11.00007.00007.0000roots函数和poly函数为功能互逆的两个函数。系数向量用行向量表示，根用列向量表示。函数polyval(p,x)——代数多项式求值。若x为一数值，则求在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其值。函数polyvalm(p,A)——矩阵多项式求值。若A为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。函数polyder(p)
6、——多项式微分。计算多项式p的导数。函数polyint(p)——多项式积分。计算多项式p的积分。例3：多项式的求值和求导。>>a=[1,2,3,4];>>b=[1,1;1,1];>>polyvalm(a,4)%同polyval(a,4)ans=112>>polyval(a,b)%数组运算>>polyvalm(a,b)%矩阵运算>>polyder(a)ans=343ans=10101010ans=151111156.1.5多项式的拟合和插值1）曲线拟合函数polyfit给出在最小二乘意义下最佳拟合系数，调用格式为
7、：[P,S]=polyfit(X,Y,m)其中待拟合数据X,Y是等长向量，P是长度为m+1的m次多项式的系数向量，S为误差向量。在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。例4：对中国1952年到1998年的国民总收入GDP的数据，用1、2、4和6阶多项式拟合，并将结果用图形表示出来。GDP的数据文件为gdp.txt。AA=load('e:datagdp.txt');x=AA(:,1);y=AA(:,2);p1=po
8、lyfit(x,y,1)%用一阶多项式拟合p2=polyfit(x,y,2)%用二阶多项式拟合p3=polyfit(x,y,4)%用四阶多项式拟合p4=polyfit(x,y,6)%用六阶多项式拟合f1=polyval(p1,x);%计算一阶多项式的插值点f2=polyval(p2,x);%计算二阶多项式的插值点f3=polyval(p4,x);%计算四阶多项式的插值点f4=polyv
