1.1不等关系

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1、不等式测试题(用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设b＞a＞0，且a＋b＝1，则四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是(　　)A．b　　B．a2＋b2C．2abD.【解析】　∵b＞a＞0，∴a2＋b2＞2ab.又a＋b＝1，∴b＞.又b＝b(b＋a)＝b2＋ab＞b2＋a2，∴b最大．【答案】　A2．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)【导学号：47172106】A.＞B.＋≤1C.≥2D．a2＋b2≥8【解析】　∵a＞0，b＞0，且a＋b＝4，可取a＝1，b＝3验证．∵＜，＋＞1，＜2，1

2、2＋32≥8，只有D正确．【答案】　D3．已知f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，G＝f()，H＝f，则A，G，H的大小关系是(　　)A．A≤G≤HB．A≤H≤GC．G≤H≤AD．H≤G≤A【解析】　∵a＞0，b＞0，∴≥≥＝，当且仅当a＝b时等号成立．又函数f(x)＝x是减函数，∴A≤G≤H.【答案】　A4．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)【导学号：47172107】A．2B．3C．4D．5【解析】　将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋

3、≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C.【答案】　C5．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)A．0B．4C．－4D．－2【解析】　由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时等号成立)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.【答案】　C二、填空题6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．【解析】　∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0∴＝≥当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．【答案】　≤7．某工厂第一年的产量为A，第二年的

4、增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．【解析】　用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立．【答案】　x≤8．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2.【解析】　ab≤＝1，当且仅当a＝b时等号成立，故①正确；(＋)2＝a

5、＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时等号成立，得＋≤2，故②错误；由于≥＝1，故a2＋b2≥2，当且仅当a＝b时等号成立，故③正确；＋＝＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故④正确．【答案】　①③④三、解答题9．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c不全相等，求证：＋＋＞a＋b＋c.【证明】　∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴＋≥2＝2c.同理＋≥2a，＋≥2b.∵a，b，c不全相等，∴上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2＞2(a＋b＋c)，即＋＋＞a＋b＋c.10．已知a、b、c为正数，求证：＋

6、＋≥3.【导学号：47172108】【证明】　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.∵a、b、c为正数，∴＋≥2(当且仅当a＝b时等号成立)，＋≥2(当且仅当a＝c时等号成立)，＋≥2(当且仅当b＝c时等号成立)，∴＋＋≥6(a＝b＝c时等号成立)，∴＋＋－3≥3，即＋＋≥3.[能力提升]1．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是(　　)A．a＋b＋≥2　　B．(a＋b)≥4C.≥2D.＞【解析】　∵a＋b＋≥2＋≥2，A成立；(a＋b)≥2·2＝4，B成立；a2＋b2≥2ab＞0，∴≥2，C成立；a＋b≥2，

7、∴≤1，≤，故D错．选D.【答案】　D2．给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；②∵x、y为正实数，∴lgx＋lgy≥2；③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；④∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导为(　　)A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】　①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lgx或lgy是负数，故②的推导过程是错误的．③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错

8、误的．④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．【答案】　D3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝3，则＋的取值范围是________．【解析】　∵a＞0，b＞0，a＋b＝3，∴＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．【