高等代数（北大版）第3章习题集参考答案解析

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1、第三章线性方程组1．用消元法解下列线性方程组：解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有因为，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为，解得其中为任意常数。2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有因为，所以原方程无解。3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有，因为，所以方程组有惟一解，且其解为。4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有，即原方程组德同解方程组为，由此可解得，其中是任意常数。5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有因为，所以原方程组无解。6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有，即原方程组的同解方程组为，解之得，其中是任意常数。2.把向量表成的线性组合.

2、。解1）设有线性关系代入所给向量，可得线性方程组，解之，得，因此。2）同理可得。3.证明：如果向量组线性无关，而线性相关，则向量可由线性表出.证由题设，可以找到不全为零的数使，显然.事实上，若，而不全为零，使成立，这与线性无关的假设矛盾，即证.故，即向量可由线性表出。4.，证明：如果，那么线性无关。证设有线性关系，代入分量，可得方程组，由于，故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关。5.设是互不相同的数，.证明：是线性无关的。证设有线性关系，则，1）当时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即，所以方程组有惟一的零解，这就

3、是说线性无关。2）当时，令则由上面1)的证明可知是线性无关的。而是延长的向量，所以也线性无关。6.设线性无关，证明也线性无关。证设由线性关系，则。再由题设知线性无关，所以，解得，所以线性无关。7.已知的秩为，证明：中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证设是中任意个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量都可由线性表出就可以了。事实上，向量组是线性相关的，否则原向量组的秩大于，矛盾.这说明可由线性表出，再由的任意性，即证。8.设的秩为，是中的个向量，使得中每个向量都可被它们线性表出，证明：是的一个极大线性无关组。证由题设知与等价，所以的秩

4、与的秩相等，且等于.又因为线性无关，故而是的一个极大线性无关组。9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示。若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的。进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ

5、）中去，得到向量组（Ⅳ）。继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组。10.设向量组为，，，，。1）证明：线性无关。2）把扩充成一极大线性无关组。证1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关。2）因为，且由，可解得，所以线性无关。再令，代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即线性相关，所以可由线性表出。这意味着就是原向量组的一个极大线性无关组。注此题也可将排成的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论。11.用消元法求下列

6、向量组的极大线性无关组与秩：，解1）设对矩阵作行初等变换，可得，所以的秩为3，且即为所求极大线性无关组。1）同理可得为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3。12.证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。证由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩。13.设是一组维向量，已知单位向量可被它们线性表出，证明：线性无关。证设的秩为，而的秩为。由题设及上题结果知，从而，故线性无关。14.设是一组维向量，证明：线性无关的充分必要条件是任一维向

7、量都可被它们线性表出。证必要性.设线性无关，但是个维向量必线性相关，于是对任意维向量，它必可由线性表出。充分性任意维向量可由线性表出，特别单位向量可由线性表出，于是由上题结果，即证线性无关。15.证明：方程组对任何都有解的充分必要条件是系数行列式。证充分性.由克拉默来姆法则即证。下证必要性.记，则原方程组可表示为，由题设知，任意向量都可由线性表出，因此由上题结果可知线性无关。进而，下述线性关系，仅有惟一零解，故必须有，即证。16.已知与有相同的秩，证明：与等价。证由于与有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样的极大线性无关组也必为

8、的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组。另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，