高等代数(北大版)第1章习题集参考答案与解析

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1、完美WORD格式第一章多项式1.用除,求商与余式:1);2)。解1)由带余除法,可得;2)同理可得。2.适合什么条件时,有1),2)。解1)由假设,所得余式为0,即,所以当时有。2)类似可得,于是当时,代入(2)可得;而当时,代入(2)可得。综上所诉,当或时,皆有。3.求除的商与余式:1);2)。解1);2)。范文范例指导完美WORD格式4.把表示成的方幂和,即表成的形式:1);2);3)。解1)由综合除法,可得;2)由综合除法,可得;3)由综合除法,可得。5.求与的最大公因式:1);2);3)。解1);2);3

2、)。6.求使。1);2);3)。解1)因为再由,范文范例指导完美WORD格式解得,于是。2)仿上面方法,可得,且。3)由可得。7.设与的最大公因式是一个二次多项式,求的值。解因为,,且由题设知最大公因式是二次多项式,所以余式为0,即,从而可解得或。8.证明:如果,且为与的组合,那么是与的一个最大公因式。证易见是与的公因式。另设是与的任一公因式,下证。由于是与的一个组合,这就是说存在多项式与,使,从而由可得,得证。9.证明:,的首系数为1)。证因为存在多项式使,范文范例指导完美WORD格式所以,上式说明是与的一个组

3、合。另一方面,由知,同理可得,从而是与的一个最大公因式,又因为的首项系数为1,所以。10.如果不全为零,证明:。证存在使,又因为不全为0,所以,由消去律可得,所以。11.证明:如果不全为零,且,那么。证由上题证明类似可得结论。12.证明:如果,那么。证由假设,存在及使(1)(2)将(1)(2)两式相乘,得,范文范例指导完美WORD格式所以。13.设都是多项式,而且。求证:。证由于,反复应用第12题结论,可得,同理可证,从而可得。14.证明:如果,那么。证由题设知,所以存在使,从而,即,所以。同理。再由12题结论,

4、即证。15.求下列多项式的公共根解由辗转相除法,可求得,所以它们的公共根为。范文范例指导完美WORD格式16.判别下列多项式有无重因式:1);2);解1),所以有的三重因式。2),,所以无重因式。17.求值,使有重根。解易知有三重根时,。若令,比较两端系数,得由(1),(3)得,解得的三个根为,将的三个根分别代入(1),得。再将它们代入(2),得的三个根。当时有3重根;当时,有2重根。18.求多项式有重根的条件。解令,则,显然当时,只有当才有三重根。下设,且为的重根,那么也为与的根,即由(1)可得,再由(2)有。

5、所以范文范例指导完美WORD格式,两边平方得,所以。综上所叙即知,当时,多项式有重根。19.如果,求。解令,。由题设知,1是的根,也是的根,此即,解得。20.证明:不能有重根。证因为的导函数,所以,于是,从而无重根。21.如果是的一个k重根,证明是的一个k+3重根。证因为,由于是的重根,故是的重根。代入验算知是的根。现在设是的重根,则是的重根,也是的s-2重根。所以。得证。22.证明:是的重根的充分必要条件是,范文范例指导完美WORD格式而证必要性:设是的重根,从而是的重根,是的重根,,是的一重根,并且不是的根。

6、于是而。充分性:由,而,知是的一重根。又由于,知是的二重根,依此类推,可知是的重根。23.举例说明段语“是的重根,那么是的重根”是不对的。解例如,设,那么以0为重根,但0不是的根。24.证明:如果,那么。证要证明,就是要证明(这是因为我们可以把看作为一个变量)。由题设由,所以,也就是,得证。25.证明:如果,那么。证因为的两个根为和,其中,所以和也是的根,且,于是,解之得。得证。26.求多项式在复数范围内和在实数范围内的因式分解。解在复数范围内,其中,在实数域内,所以,当为奇数时,有其中,皆为实数。当是偶数时,有

7、范文范例指导完美WORD格式27.求下列多项式的有理根:1);2);3)。解利用剩余除法试根,可得1)有一个有理根2。2)有两个有理根(即有2重有理根)。3)有五个有理根(即一个单有理根3和一个4重有理根)。28.下列多项式在有理数域上是否可约?1);2);3);4)为奇素数;5)为整数。解1)因为都不是它的根,所以在有理数域里不可约。2)利用艾森斯坦判别法,取,则此多项式在有理数域上不可约。3)首先证明:命题设有多项式,令或,得或则与或者同时可约,或者同时不可约。事实上,若可约,即,从而,这就是说也可约,反之亦

8、然。现在我们用它来证明在有理数域上不可约。令,则多项式变为范文范例指导完美WORD格式利用艾森斯坦判别法,取,即证上式不可约,因而也不可约。1)设,令,则由于是素数,因而,但,所以由艾森斯坦判别法,即证在有理数域上不可约,因而也在有理数域上不可约。2)已知,令,可得利用艾森斯坦判别法,取,即证在有理数域上不可约,因而也在有理数域上不可约。29.用初等对称多项式表求出下列对

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