高等代数(北大版)第1章习题集参考答案解析

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1、第一章多项式1．用除，求商与余式：1）；2）。解1）由带余除法，可得；2）同理可得。2．适合什么条件时，有1），2）。解1）由假设，所得余式为0，即，所以当时有。2）类似可得，于是当时，代入（2）可得；而当时，代入（2）可得。综上所诉，当或时，皆有。3．求除的商与余式：1）；2）。解1）；2）。4．把表示成的方幂和，即表成的形式：1）；2）；3）。解1）由综合除法，可得；2）由综合除法，可得；3）由综合除法，可得。5．求与的最大公因式：1）；2）；3）。解1）；2）；3）。6．求使。1）；2）；3）。解1）因为再由，解得，于是。2）仿上面方法

2、，可得，且。3）由可得。７．设与的最大公因式是一个二次多项式，求的值。解因为，，且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式为0，即，从而可解得或。８．证明：如果，且为与的组合，那么是与的一个最大公因式。证易见是与的公因式。另设是与的任一公因式，下证。由于是与的一个组合，这就是说存在多项式与，使，从而由可得，得证。９．证明：，的首系数为１）。证因为存在多项式使，所以，上式说明是与的一个组合。另一方面，由知，同理可得，从而是与的一个最大公因式，又因为的首项系数为１，所以。１０．如果不全为零，证明：。证存在使，又因为不全为０，所以，由消去律可得，所

3、以。11．证明：如果不全为零，且，那么。证由上题证明类似可得结论。12．证明：如果，那么。证由假设，存在及使（1）（2）将（1）（2）两式相乘，得，所以。13．设都是多项式，而且。求证：。证由于，反复应用第12题结论，可得，同理可证，从而可得。14．证明：如果，那么。证由题设知，所以存在使，从而，即，所以。同理。再由12题结论，即证。15．求下列多项式的公共根解由辗转相除法，可求得，所以它们的公共根为。16．判别下列多项式有无重因式：1）；2）；解1），所以有的三重因式。2），，所以无重因式。17．求值，使有重根。解易知有三重根时，。若令，比

4、较两端系数，得由（1），（3）得，解得的三个根为，将的三个根分别代入（1），得。再将它们代入（2），得的三个根。当时有3重根；当时，有2重根。18．求多项式有重根的条件。解令，则，显然当时，只有当才有三重根。下设，且为的重根，那么也为与的根，即由（1）可得，再由（2）有。所以，两边平方得，所以。综上所叙即知，当时，多项式有重根。19．如果，求。解令，。由题设知，1是的根，也是的根，此即，解得。20．证明：不能有重根。证因为的导函数，所以，于是，从而无重根。21．如果是的一个k重根，证明是的一个k+3重根。证因为，由于是的重根，故是的重根。代入

5、验算知是的根。现在设是的重根，则是的重根，也是的s-2重根。所以。得证。22．证明：是的重根的充分必要条件是，而证必要性：设是的重根,从而是的重根，是的重根，，是的一重根，并且不是的根。于是而。充分性：由，而，知是的一重根。又由于，知是的二重根，依此类推，可知是的重根。23．举例说明段语“是的重根，那么是的重根”是不对的。解例如，设，那么以0为重根，但0不是的根。24．证明：如果，那么。证要证明，就是要证明（这是因为我们可以把看作为一个变量）。由题设由，所以，也就是，得证。25．证明：如果，那么。证因为的两个根为和，其中，所以和也是的根，且，

6、于是，解之得。得证。26．求多项式在复数范围内和在实数范围内的因式分解。解在复数范围内，其中，在实数域内，所以，当为奇数时，有其中，皆为实数。当是偶数时，有27．求下列多项式的有理根：1）；2）；3）。解利用剩余除法试根，可得1）有一个有理根2。2）有两个有理根（即有2重有理根）。3）有五个有理根（即一个单有理根3和一个4重有理根）。28．下列多项式在有理数域上是否可约？1）；2）；3）；4）为奇素数；5）为整数。解1）因为都不是它的根，所以在有理数域里不可约。2）利用艾森斯坦判别法，取，则此多项式在有理数域上不可约。3）首先证明：命题设有多

7、项式，令或，得或则与或者同时可约，或者同时不可约。事实上，若可约，即，从而，这就是说也可约，反之亦然。现在我们用它来证明在有理数域上不可约。令，则多项式变为利用艾森斯坦判别法，取，即证上式不可约，因而也不可约。1）设，令，则由于是素数，因而，但，所以由艾森斯坦判别法，即证在有理数域上不可约，因而也在有理数域上不可约。2）已知，令，可得利用艾森斯坦判别法，取，即证在有理数域上不可约，因而也在有理数域上不可约。29．用初等对称多项式表求出下列对称多项式：1）；2）；3）；4）；5)；6)。解1）对称多项式的首项为，其方幂为，即，又因为，所以原式=

8、。2）同理可得３）原式=，由此可知多项式时六次对称多项式，且首项为，所以的方幂之积为指数组对应的方幂乘积420411330321222原式=(1)只要令,则原式左边