2016年湖南省郴州市高三第四次教学质量检测数学（理）试题（word）

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1、数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.已知复数满足,则复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知为等差数列的前项和,,则等于（）A．B．C．D．4.已知直线过双曲线的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的实轴长为（）A．B．C．D．5.已知,则等于（）A．B．C．D．6.已知,则等于（）A.B．C．D．7.执行如图所示的程序框图,已知命题,输出的值为命题,则输

2、出的值为,则下列命题正确的是（）A．B．C．D．8.已知函数,若对恒成立,则的最小值是（）A．B．C．D．9.已知函数的定义域为,对任意,有,且,则不等式的解集为（）A．B．C．D．10.一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的体积为（）A．B．C．D．11.已知椭圆的左、右焦点分别为、,点是椭圆与圆在第一象限的交点,且点到的距离等于.若椭圆上一动点到点与到点的距离之差的最大值为,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12.已知函数是奇函数,且函数有两个零点,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

3、13.如果实数满足条件,则的最大值为．14.甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试,根据平时训练的经验,甲、乙、丙三人能达标的达标的概率分别为,则三人中有人达标但没有全部达标的概率为．15.在中,,若,则．16.已知正项数列的前项为,当时,,且,设,则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在中,角的对边分别为,且.（1）若,求的值；（2）若的面积为,求.18.（本小题满分12分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长

4、(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取名同学进步调查,将他们最近一周我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字),如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过小时,则称为“过度熬夜”.（1）请根据样本数据,估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据,求恰有个数据为“过度熬夜”的概率；（3）从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为,写的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,是边长为的正三角形,底面.（1）求证：；

5、（2）若,求二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）焦点为的抛物线上有一动点,且点抛物线的准线与点的距离之和的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于不同的两点,若直线分别交直线于两点,求最小值时直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若在上是减函数,求实数的最小值；（2）若存在,使成立,求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,已知为圆的直径,为圆上一点,连接并延长使,连接并延长交圆于点,过点作圆的切线,切点为.（1）证明：

6、；（2）若,求的长度.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合,设点为坐标原点,直线(参数)与曲线的极坐标方程为.（1）求直线与曲线的普通方程；（2）设直线与曲线相交于、两点,证明：.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时,解不等式；（2）若存在,使得成立,求实数的取值范围.湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CABAD6-10.CDBDA11-12.BC二、填空题（每小题5分，

7、共20分）13.14.15.16.三、解答题17.解：（1）,由得,解得,.（2）由得,的面积为18.解：（1）甲班样本数据的平均值为,由此估计甲班学生每周平均熬夜时间小时；乙班样本数据的平均值为,由此估计乙班学生每周平均熬夜时间小时.（2）因为从甲班的个样本数据中随机抽取个的数据为“过度熬夜”的概率是,所以从甲班样本数据中有放回的抽取个的数据,恰有个数据为“过度熬夜”的概率为.(3)的可能取值为.,,.的分布列是：.19.解：（1）证明：连接交于,底面,平面,则,即,即平面.（2）由（1）知是的中点,过作交于,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,则