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1、数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.2.已知复数满足,则复数在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知为等差数列的前项和,,则等于()A.B.C.D.4.已知直线过双曲线的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的实轴长为()A.B.C.D.5.已知,则等于()A.B.C.D.6.已知,则等于()A.B.C.D.7.执行如图所示的程序框图,已知命题,输出的值为命题,则输
2、出的值为,则下列命题正确的是()A.B.C.D.8.已知函数,若对恒成立,则的最小值是()A.B.C.D.9.已知函数的定义域为,对任意,有,且,则不等式的解集为()A.B.C.D.10.一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的体积为()A.B.C.D.11.已知椭圆的左、右焦点分别为、,点是椭圆与圆在第一象限的交点,且点到的距离等于.若椭圆上一动点到点与到点的距离之差的最大值为,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.12.已知函数是奇函数,且函数有两个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
3、13.如果实数满足条件,则的最大值为.14.甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试,根据平时训练的经验,甲、乙、丙三人能达标的达标的概率分别为,则三人中有人达标但没有全部达标的概率为.15.在中,,若,则.16.已知正项数列的前项为,当时,,且,设,则.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)在中,角的对边分别为,且.(1)若,求的值;(2)若的面积为,求.18.(本小题满分12分)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长
4、(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取名同学进步调查,将他们最近一周我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字),如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过小时,则称为“过度熬夜”.(1)请根据样本数据,估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值;(2)从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据,求恰有个数据为“过度熬夜”的概率;(3)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为,写的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,是边长为的正三角形,底面.(1)求证:;
5、(2)若,求二面角的正弦值.20.(本小题满分12分)焦点为的抛物线上有一动点,且点抛物线的准线与点的距离之和的最小值为.(1)求抛物线的方程;(2)过点作直线交抛物线于不同的两点,若直线分别交直线于两点,求最小值时直线的方程.21.(本小题满分12分)已知函数.(1)若在上是减函数,求实数的最小值;(2)若存在,使成立,求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知为圆的直径,为圆上一点,连接并延长使,连接并延长交圆于点,过点作圆的切线,切点为.(1)证明:
6、;(2)若,求的长度.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合,设点为坐标原点,直线(参数)与曲线的极坐标方程为.(1)求直线与曲线的普通方程;(2)设直线与曲线相交于、两点,证明:.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)当时,解不等式;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测数学(理)试题参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)1-5.CABAD6-10.CDBDA11-12.BC二、填空题(每小题5分,
7、共20分)13.14.15.16.三、解答题17.解:(1),由得,解得,.(2)由得,的面积为18.解:(1)甲班样本数据的平均值为,由此估计甲班学生每周平均熬夜时间小时;乙班样本数据的平均值为,由此估计乙班学生每周平均熬夜时间小时.(2)因为从甲班的个样本数据中随机抽取个的数据为“过度熬夜”的概率是,所以从甲班样本数据中有放回的抽取个的数据,恰有个数据为“过度熬夜”的概率为.(3)的可能取值为.,,.的分布列是:.19.解:(1)证明:连接交于,底面,平面,则,即,即平面.(2)由(1)知是的中点,过作交于,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,则