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1、自然数之数学归纳法0.数学归纳法的背景数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一.它在数学各个分支里都有广泛应用.该法的实质在于:将一个无法(或很难)穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题:“p(1)真”和“若p(k)真,则p(k+1)真”,从而达到证明的目的.数学归纳法早期叫逐次归纳法(始见于英国数学家摩根)或完全归纳法(始见于德国数学家戴德金).但后来人们更喜欢用数学归纳法的名称.因为它更能体现论证的严格性和科学性,又不与逻辑学中的“归纳法”混淆.数学史上最早使用数学归纳法的人首推法国数学家帕斯卡,但他并未确立方法的理
2、论依据.直到意大利数学家皮亚诺建立了自然数的理论,才标志着数学归纳法逻辑基础的奠定.摩根(Morgan,1806-1871)英国著名数学家,所著的《代数学》是我国第一本代数学译本.负数的认识问题:摩根不承认负数.1831年,摩根在他的《论数学的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的.四色猜想:四色猜想是世界近代三大数学难题之一.1852年,刚从伦敦大学毕业的弗南西斯·葛斯里在对英国地图着色时发现,对无论多么复杂的地图,只需用四种颜色就足够将相邻的区域分开.这个千万人屡见不鲜的有趣事实引起了他的注意,他感到这种现象决非偶然,可
3、能隐藏着深刻的科学道理.他把他的想法告诉了他的哥哥弗德雷克.弗德雷克是著名数学家摩根的学生,他对这个问题极感兴趣,于是便设法证明.可是,尽管他绞尽脑汁,仍百思不得其解,于是他以“四色定理”为名,请他的老师摩根证明.摩根也无法解决这个问题,于是德·摩根写信请著名数学家哈密尔顿帮助解答,这位智慧超群的人也被这个简单的问题弄得一筹莫展,他冥思苦想了13年,直至逝世仍毫无结果.在1876年,当时很有名望的数学家凯莱在数学年会上把这个问题归纳为“四色猜想”提出,并征求问题的解答.于是“四色猜想”开始引人注目.1976年,美国数学家阿
4、佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明.四色猜想的计算机证明,轰动了世界.它不仅解决了一个历时100多年的难题,而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点.不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法.戴德金(Dedekind,1831—1916),最伟大的德国数学家、理论家和教育家,近代抽象数学的先驱.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“
5、分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.戴德金分割:假设给定某种方法,把所有的有理数分为两个集合，A和B，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素,任何一种分类方法称为有理数的一个分割.对于任一分割,必有3种可能,其中有且只有1种成立:1.A有一个最大元素a,B没有最小元素(例如A是所有≤1的有理数.B是所有>1的有理数).2.B有一个最小元素b,A没有最大元素(例如A是所有<1的有理数.B是所有≥1的有理数).3.A没有最
6、大元素,B也没有最小元素(例如A是所有负的有理数,零和平方小于2的正有理数,B是所有平方大于2的正有理数).显然A和B的并集是所有的有理数,因为平方等于2的数不是有理数.注:A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中,与A和B的并集是所有的有理数矛盾.第3种情况,戴德金称这个分割为定义了一个无理数,或者简单的说这个分割是一个无理数.前面2种情况中,分割是有理数.皮亚诺公理其中的第5条公理又叫做归纳公理,它是数学归纳法的依据.最小数定理自然数的任何非空集合A必有一个最小数,即这
7、个数小于集合A中所有其他的数.证明:由于A不是空集,其中必含有一个自然数.我们在A中任取一个数m,因为从1到m共有m个自然数,所以在A中不大于m的数最多只有m个.显然在这有限个数中存在着最小的数,我们用l来代表它.那么,l就是A中最小的数.事实上,l对于A中不大于m的数来说,它是最小的;而A中其余的数都比m大,因而更比l大,所以l就是A中最小的数.1.数学归纳法的基本形式2.数学归纳法的证题技巧三个著名的无理数0.无理数的产生第一次数学危机初等无理数复合无理数代数数和e的出现现在无理数定义“有理数”中的“有理”一词,英文
8、是Rational.这个词本来有两个含义,其一是“比”,其二是“合理”.照数学上的原义,分数可以表示成两个整数之比,整数也可以看作是这个整数与1的比,把“有理数”叫做“比数”应该是很贴切的.由于无理数不能表示为两个整数的比,因此可以把“无理数”叫做“非比数”.可是,日本学者在十九世纪翻译西方的数学书时,
