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《组合级值--数学奥林匹克小从书》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
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2、$$0"}~/0$$4#`$0"$q$#A%a$!$&$!1'$A#($2#)$"0!!"!!!!!*B!$3$!!~$34!"'$14!#C$43!!!!"#$000%!!&"不等式控制组合极值的一个显著特点!就是其约束条件或所求的极值的函数式较复杂!所谓不等式控制!就是对约束条件或极值函数进行放缩!使条件与极值函数之间的联系趋于明显!通过放缩!使问题接近于一种标准形式"在"##!$$%!下!求&%'##!$$的最值!从而将组合极值化归为一般的极值求解!不等式控制!通常有两种方式"一是对约束条件进行放缩!使隐蔽的约束条件明显化%二是对极值函数进行放缩!使复杂
3、的函数式简单化!例!!设(个互异的正偶数与)个互异的正奇数的和为"#$%!求&(*')的最大值!#第(届)*+试题$分析与解!本题的难点在于约束条件较复杂!可先利用不等式将其化简!进而将其放缩到出现目标函数式!!!"!!!!设题给的(个正偶数为+"!+(!&!+(!)个正奇数为,"!,(!&!,)!则#+"*+(*&*+($*#,"*,(*&*,)$%"#$%!!注意到极值函数是关于(')的函数!而在约束条件中!(')仅作为各变量的下标!于是!应将!中对+"!+(!&!+(及,"!,(!&!,)的约束转化为对(')的约束!因为+"!+(!&!+(与,"!,(!&!,)是互异的正偶
4、数与正奇数!所以"#$%%#+"*+(*&*+($*#,"*,(*&*,)$!!!!##(*'*,*&*(($*#"*&*&*()-"$((%(*)*(!"注意到我们的目标是"&(*')$.#常数$的形式!呈现)-./01不等式结构!所以应将"的右边配方!化为(平方和)!从而("#$%*""*)(!##(*$'("!不等式控制"(#"#$%*"$#&(*'($##&(*'($*#(*"$*)(+'(("##&#(*$*')$!(所以&(*&*')$2"#$%*"!所以&(*')$*2"#$%*"-&+%(槡'槡'((("!下面构造一组数!使不等式成立等号!先找#(!)$!使&(*
5、')%(("!此不定方程有多个解!但为了使#(!)$满足"!应使相应的偶数和奇数都尽可能小!这就要求(与)充分接近!通过试验!得到(%(%!)%&2时!((&(*')%(("!且(*)*(%"#$"%"#$%!满足"!取最小的(%个正偶数为+"%(!+(%'!&!+(%%2'!最小的&2个正奇数为,"%"!,(%&!&!,&'%,%!,&2%,#!则#+"*+(*&*+(%$*#,"*,(*&*,&2$%"#$%-,!再将,&2修改为",#*,%%2!得#+"*+(*&*+(%$*#,"*,(*&*,&2$%"#$%!综上所述!&(*')的最大值为(("!!!#!!!!注!本例解
6、题的关键!是将!式化为"式!而后面利用)-./01不等式则不是本质的!实际上!得到"式后!求&(*')的极值也可用三角代换"(由"!可令/%#(*"$*)(!(%-"*//34!!)%/456!!槡((&&&则&(*')%&//34!*'/456!-%2/456#!*0$-$2/-$((("&2"#$%*-#下同$!槡'()例"!设#"!#(!&!#)&#$!'"%.#常数$!对给定的正整数2!求1%"#1"'的最大值!其中求和对"!(!&!)中的所有2元数#1*#1*&*#1"(2组#1"!1(!&!12$进行!分析与解!本题的难点在于目标函数较复杂!期望利用不等式将其化"""
7、简!由目标函数的结构特征!想到将化为**&*#1*#1*&*#1#1#1"(2"()"""""以利用条件'%.!这恰好符合(倒数型不等式)"**&*##121%"#1+"+(+2组合极值"!!(2的特征!于是!利用(倒数型不等式)!有+"*+(*&*+2"""**&*"+"+(+2$(!+"*+(*&*+22"""**&*"#1#1#1所以"(2'#$'(1*#1*&*#12"(2""""%('##**&*$!21#1#1"(2"考察上式右边(和式)中每个项#3%"!(!&!2$出现的次数!显然!#13"出现一次!等价于出现一个#"!"!&!"$的含"的2组合!因为含有#1#"#
8、(#2#133"的2组合有)2)--""个!所以"在(和式)中共出现)2)--""次!所以#1#133)"""""2-"".2-"('##**&*$%())-"'%())-"!21"#1(#1221%"#12!!$!!!!)其中等式在#"%#(%&%#)%时成立!.故"的最大值为.)2)--""!'#(1*#1*&*#12"(2例%!设4是体积为"的正四面体5内#包括边界$的一个点!过4作'个平面平行5的'个面!将5分成"'块!"#4$是那些既不是四面体也不是平行六面体的几何体的
