次根式基础专题

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1、二次根式知识梳理二次根式：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．二次根式的性质1.非负性：是一个非负数．2、．3.4.公式与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式

2、的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。②②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。例．写出一个无理数，使它与3的积为有理数_____________；分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。=·（a≥0，b≥0）12/122．二次根式的乘法法则：两个因式的

3、算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。·＝．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a≥0，b>0）二次根式的加减需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；根式比较大小1、根式变形法当时，①如果，则；②如果，则

4、。2、平方法当时，①如果，则；②如果，则。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②8、求商比较法　它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①；②例１．比较大小：-3___________-2；例２．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=_________；二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。12/12注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必

5、须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例１．下列各式一定不是二次根式的是（）A、B、C、D、例2.下列与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．-11．判断下列各式哪些是二次根式（　　）(1)；（2）２．写出下列各等式成立的条件（1）（2）（3）（4）（５）例２．下列式子是最简二次根式的是（）A、B、C、D、１.下列根式中不是最简二次根式的是…………………………………………………（）A．B．C．D．２.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是________；取值范围1.   二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0

6、时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.   二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。例．若，则x的取值范围是　　　　　　１．当ｘ　　　时，有意义。12/12２．当ｘ＜２时，＝　　　　　３．若，则a应是（）A、负数B、正数C、非零实数D、有理数４．二次根式中，字母a的取值范围是（）A、a＜1B、a≤1C、a≥1D、a＞1５．若使代数式有意义，则x的取值范围是（）A、x≠2B、x≥2C、x＞2D、x≤4６．若化简︱1-x︱-的结果为2x-5，则x的取值范围是（）A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4７．x为何

7、值时，下列各式在实数范围内有意义（1）８.二次根式中，字母a的取值范围是…………………………………………（）A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1９.已知是正整数，则实数n的最大值为………………………………………（）A．12B．11C．8D．3１０.使式子无意义的x取值的是______________；二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示