立体几何中的向量方法二

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1、【教育类精品资料】3.2立体几何中的向量方法（二）温故知新利用空间向量证明线线平行利用空间向量证明线线平行的方法（1）建立适当的坐标系，求出相应点的坐标.（2）求出直线的方向向量.（3）证明两向量共线.（4）证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点，求证：PQ∥RS.【规范解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

2、建立如图所示的空间直角坐标系.则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0)，S(0,4,1)，∴=（-3，2，1），=（-3，2，1）∥由图形易知PQ与RS不共线，所以PQ∥RS.利用空间向量证明线面平行利用空间向量证明线面平行的方法.方法一：先证直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即满足则共面.方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直.【变式训练】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D

3、1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD.【解题提示】可采用以下思路证明：思路一：证明与平面A1BD中的一个向量平行.思路二：利用向量共面定理.思路三：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.【证明】方法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M（0，1，），N（，1，1），D（0，0，0），A1（1，0，1）于是得∴∥又DA1与MN不共线，∴DA1∥MN.而DA1平面A1BD，MN平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二：∵即

4、可用与线性表示，故与是共面向量，∴∥平面A1BD，而MN平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法三：建立如方法一中的空间直角坐标系，B（1，1，0），于是=（1，1，0）.设平面A1BD的一个法向量是=(x,y,z),则=0且=0,得取x=1，得y=-1，z=-1.∴=(1,-1,-1).又·（1，-1，-1）=0，∴⊥又MN平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.利用空间向量证明面面平行证明面面平行的方法.（1）利用空间向量转化为线线平行或线面平行（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，证明两个法向量平行.8.在长方体ABC

5、D-A1B1C1D1中，DA=2,DC=3，DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD.xyz【证明】方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，分别取MN，DB及EF的中点R，T，S，连结AR，ST，则A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,,4),D(0,0,0),B(2,3,0),E(0,,4),F（1，3，4），R（，，4），S（，，4），T(1,,0).∴=(1,,0),=(1,,0),=(-,,4),=(-,,4).∴,又MN与EF、AR与TS不共线，∴MN∥E

6、F,AR∥TS.∴MN∥平面EFBD，AR∥平面EFBD，又MN平面AMN,AR平面AMN,MN∩AR=R,∴平面AMN∥平面EFBD.方法二：建系同方法一，由方法一可知，A（2，0，0），M（1，0，4），N（2，，4），D（0，0，0），E（0，，4），F（1，3，4），则=（-1，0，4），＝（0，，4），＝（0，，4），＝（1，3，4）设平面AMN，平面EFBD的法向量分别为=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则即令x1=1,得z1=,y1=-，∴=(1,-，），即令y2=-1,得z2=,x2=.∴=(，-1，）.∴＝

7、,即∥,∴平面AMN∥平面EFBD.利用空间向量证明线线垂直利用空间向量证明线线垂直的方法用向量法证明空间两条直线相互垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直.具体方法为：（1）坐标法：根据图形的特征，建立适当的直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表达出两直线的方向向量，证明其数量积为零.（2）基向量法：利用向量的加减运算律，结合图形，将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.P111练习3.已知正方体ABCD-A'B'C'D'，BC'和CB'相交于点O，连结DO，求证：DO⊥BC'.xyz利

8、用空间向量证明线面垂直用向量法证明线面垂直的方法与步骤（1）基向量法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线所在的向量②找出平面内两条相交的向量并分别用基向量表示③分别计算直线的方向向量