离散型随机变量的期望(一)

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1、离散型随机变量的期望设离散型随机变量可能取的值为为随机变量的概率分布列，简称为的分布列.取每一个值的概率则称表对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.复习引入思考下面的问题:ξ456789100.020.040.060.090.280.290.22某射手射击所得环数ξ的分布列如下：在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.分析：平均环数=总环数100所以,总

2、环数约等于（4×0.02+5×0.04+6×0.06+…+10×0.22)×100.故100次射击的平均环数约等于4×0.02+5×0.04+6×0.06+…+10×0.22=8.32.一般地，随机变量ξ的概率分布列为则称为的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.结论1：则;结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np.一、数学期望的定义:结论3:若随机变量服从几何分布，则E=1/p所以，的分布列为结论1：则∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2

3、p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.2、随

4、机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.13.（1）若E(ξ)=4.5,则E(－ξ)=.（2）E(ξ－Eξ)=.-4.50例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分的期望。例2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。例3：有一批数量很大的产品，其次品率是15％.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，

5、直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）.注：若随机变量X服从两点分布,则EX=p练习：两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数1，2的分布列是10123P0.40.30.20.120123P0.30.50.20如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分例4.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分

6、100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是ξ和η,则ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:学生甲在这

7、次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?例5(06广东高考)某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X0~678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中的最高环数作为他的成绩，记为ξ.(1)求该运动员两次都命中7环的概率;(2)求ξ的分布列;(3)求ξ的数学期望.练习.某商场的促销决策：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场

8、应选择哪种促销方式？解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列P10－40.60.4所以E=10×0.6＋(-4)×0.4=4.4因为4.4>2,所以商场应选择在商场外进行促销.