12.3 角平分线的性质和判定(共66张PPT)

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1、角平分线的性质复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习提问2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。OPAB我的长度如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?探究1:E角的平分线的作法证明:在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=

2、BC(已知)CA=CA(公共边)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等)∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)尺规作角的平分线观察领悟作法,探索思考证明方法:ABOMNC画法:1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.2.分别以M,N为圆心.大于1/2MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.3.作射线OC.射线OC即为所求.ABMNC为什么OC是角平分线呢?O想一想:已知:OM=ON,MC=NC。求证:OC平分∠AOB。证明:在△OMC和△ONC

3、中,OM=ON,MC=NC,OC=OC,∴△OMC≌△ONC(SSS)∴∠MOC=∠NOC即:OC平分∠AOB已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E。求证:PD=PE证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴∠PDO=∠PEO=90(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS)角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DPEAOBC角平分线的性质定理:

4、角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为:AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件:(1)角的平分线;(2)点在该平分线上;(3)垂直距离。定理的作用:证明线段相等。∵如图,AD平分∠BAC(已知)∴=,()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD(×)判断:练习∵如图,DC⊥AC,DB

5、⊥AB(已知)∴=,()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD(×)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DB⊥AB(已知)∴=,()DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等练习如图,∵OC是∠AOB的平分线,又________________∴PD=PE()PD⊥OA,PE⊥OBBOACDPE角的平分线上的点到角的两边的距离相等在△OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB,EC、ED分别垂直OA,OB,垂足为C,D.求证:AC=BD.OABECD在△ABC中,∠C=

6、90°,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,BC=7,DE=3.求BD的长。EDCBA如图,在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;求证:CF=EBACDEBF这节课我们学习了哪些知识?小结1、“作已知角的平分线”的尺规作图法;2、角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。∵OC是∠AOB的平分线,又PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等).EDOABPC几何语言:,1、在Rt△ABC中,BD是角平分线,DE

7、⊥AB,垂足为E,DE与DC相等吗?为什么?ABCDE2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC知识应用1.如图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E,F,DE=DF,∠EDB=60°,则∠EBF=度,BE=。60BF2如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE是△ABC的,AE+DE=。角的平分线6cm练习3.已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠

8、CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少?ABCDE你会吗?例已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE(在角平分线上的点到角的两边的距离相等)同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到

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