用向量方法解决垂直问题

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1、NO.1课堂强化第三章课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点一考点二3.2NO.2课下检测考点三解题高手第二课时第二课时　用向量方法解决垂直问题[读教材·填要点]空间垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v则：(1)线线垂直：l⊥m⇔；(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔；(3)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔．a·b＝0a＝ku(k∈R)u·v＝0[小问题·大思维]1．若直线l的一个方向向量为a，向量b∥α，c∥α且a⊥b，a⊥c，则l与α有怎样的位置关系？提示：当b与c不共线

2、时可得l⊥α；当b与c共线时l与α的位置关系不确定．2．若向量a⊥α，a∥β，则平面α，β有怎样的位置关系？提示：α⊥β.[研一题][悟一法]证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为0，可以建立空间直角坐标系，利用坐标运算来解决，也可以利用向量间的几何运算来证明．1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，M为AA1的中点，N为A1B1上的点，满足A1N＝NB1，P为底面正方形A1B1C1D1的中心．求证：MN⊥MC，MP⊥B1C.[通一类][研一题][悟一法]利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定理，即

3、通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行．[通一类]2．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，EF⊥PB于点F.求证：PB⊥平面EFD.[研一题][例3]证明：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点．求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.[悟一法]利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判

4、定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．[通一类]在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?[巧思]建立空间直角坐标系，设P点坐标为(0，0，x)，根据MD⊥平面PAC建立方程组，求出x，因为正方体的棱长为1，所以若x∈[0，1]时，则P点存在，否则，符合条件的P就不存在．点此进入点此进入